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28 A. Bravais. Satz XXXII. — Wenn in einem Polyeder, welches eine Hanptaxe ^ 2 ® +1 besitzt, noch andere Axen exis- tiren, so sind diese binär, ihre Gesammtzahl ist gleich 2<7 + 1 , und sie sind alle von derselbenArt. Eine beliebige von den neuen Axen, welche nothwendiger- weise binär ist, und in der zu .+ 2 9 +t normalen Ebene liegt (Satz XV), wiederholt sich 2 q mal, gemäss dem Zusatz zu SatzX; ausserdem werden diese 22+1 Axen unter sich verschieden sein und nicht paarweise coincidiren (wie das in dem Falle der Hauptaxen von gerader Ordnung stattfindet). In der That, wenn man sie nummerirt mit 0, 1,2, u. s. w. in der Keihenfolge, wie aufeinanderfolgende Drehungen, jedesmal um den Betrag von 360° , sie entstehen lassen, so findet man, dass die Neigun- 2 £ + 1 ö gen von 0, 1, 2, 3 u. s. w. gegen die Axe 0 360° 2-360° <7-360° [q + 1) • 360° 22-360° ’ 22 + 1’ 22 + 1 ’ 22 -M’ 2q + 1 ’ " ' T2+T sind, und verschiedenen Geraden entsprechen, weil zwei dieser Winkel niemals um 180° differiren können. Es kann in der zur Hauptaxe normalen Ebene keine anderen binären Axen geben, als diejenigen, deren Vorhandensein wir eben nachgewiesen haben. Denn wäre Q ihre Gesammtzahl und wäre Q O 2 2 + 1, so würde die Ordnungszahl der Symmetrie der Hauptaxe Q oder m Q sein (Satz XIII), was der Voraus setzung einer Hauptaxe von der Ordnung 2 2+1 widerspricht. Zusatz. — Die Zahl der binären, zu A. 2 ^ +1 normalen Axen muss immer 0 oder 22+1 sein. [42] Satz XXXIII. —In jedem Polyeder, welches die Hauptaxe c t +1 besitzt, müssen, wenn zugleich durch die Hauptaxe gehende Symmetrieebenen vor handen sind, diese sämmtlich von derselben Art und ihre Gesammtzahl 2 2 + 1 sein. Man kann wie im vorigen Satze zeigen : 1. dass die 2 q + 1 Ebenen, welche durch die wiederholten Drehungen, jede vom 360° Betrage ^ — um die Hauptaxe entstehen, von derselben Art und direct ähnlich unter einander sind und nicht paarweise coincidiren; 2. dass ihre Anzahl nicht 2 2+1 übersteigen kann wegen des Satzes XI.