36 A. Bravais. oder das regelmässige Ikosaeder, welches dem Fall q = 5, r = 3 entspricht; dann ist AB = 63° 26’, AM = 37° 23'. Sei jetzt 31 die Zahl der Ecken des so erhaltenen regelmässigen Polyeders; da jede Ecke eine Homologe, welche ihr diametral gegenüber liegt, besitzt, so sieht man. dass die Gesammtzahl Q der Axen von der Ordnung q wenigstens gleich | 31 sein wird. Ich behaupte ausserdem, dass nicht sein kann. Denn wenn Q 1 31 wäre, so würde eine der Axen der Ordnung q die Kugel in einem, im Innern eines der sphärischen Polygone ABC 1) E gelegenen, Punkt X treffen. Einer der Winkelabstände zwischen X und den Ecken A, B, C, D würde notkwendiger- weise kleiner als A3I und um so mehr als AB sein nach der synoptischen Tabelle der zusammengehörigen Werthe von AB und AM), was der Voraussetzung von der geringsten Neigung der beiden Axen OA und OB widerspricht. Es kann also nicht Q>\M sein; folglich ist Q = \M [50] Satz XLII. — Ein sphäroedrisches Polyeder kann nur ternäre, quaternäre oder quinäre Axen ha ben, die binären Axen nicht mitgerechnet. Das folgt aus dem Inhalt des vorhergehenden Satzes. Da JJi eine der Axen des Polyeders ist, so kann die Zahl q nur die Anzahl der Seiten sein, welche sich verbinden können, um die Ecke eines regelmässigen Polyeders zu bilden; folglich muss man haben: q — 3 oder 4 oder 5. SatzXLIlI. — Es giebt zwei verschiedene Gruppen sphäroedrischer Polyeder, solche, welche vier ternäre Axen, und solche, welche zehn ternäre Axen besitzen. Wir wollen nach einander die vier Fälle untersuchen, zu denen die gegenseitige Neuerzeugung der Q Axen Iß führt, und sei immer M die Zahl der Ecken des regelmässigen, eingeschrie benen Polyeders, auf welche diese Art der Wiederholung führt. In dem Falle des Würfels ist (Satz XLI) 2 = 3, M== 8, Q = \M = 4. In dem Falle des Oktaeders ist