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Abhandlungen über symmetrische Polyeder. 41 und die Bestimmungen, welche wir S. 12 machten, hat man die drei Symbole: [4L 3 , 3U, 0(7, OP], [41,3, 3i2j C , 3P2], [4P 3 j 3 £ 2) o(7, 6P], Satz XLIX. — Jedes quaterternäre Polyeder mit quaternären Axen besitzt sechs binäre Axen, welche die gegenüberliegenden Kanten eines Würfels, dessen Diagonalen die vier ternären Axen des Polyeders sind, paarweise verbinden. [55] Ich behaupte, dass, wenn man den Mittelpunkt 0 der Kugel, Fig. 11, mit dem Punkte G 0 , der Mitte von AA 0 , ver bindet, diese Gerade eine binäre Axe des Polyeders sein muss. Geben wir dem Polyeder eine Drehung von 90° um OM x von A gegen A 0 hin, und eine zweite Drehung von 120° um OA 0 vonP] gegen A, so wird diese doppelte Bewegung, welche die scheinbaren Orte der Ecken nicht verändert, A auf A 0 , dann auf A 0 , A 0 auf Bi, dann auf A , B { auf A 2 , dann auf A lt A 2 auf A , dann auf P 2 führen. Das Resultat dieser beiden Drehungen ist dasselbe, wie wenn man das Polyeder um 180° um G 0 gedreht hätte; also ist OG n eine Axe von gerader Ordnung, die offenbar nur binär sein kann, und das Gleiche würde für die fünf übrigen Geraden, die Homo logen von OG 0 , der Fall sein. Drei der sechs binären Axen sind in der Ebene des Grundkreises der Projection der Kugel gelegen. Man könnte beweisen, wie das schon in dem Beweise des Satzes XLY geschehen ist, dass jede andere Gerade ungeeignet sein würde, eine binäre Axe des Systems zu sein. SatzL. — Die quaterternären Polyeder mit quater nären Axen haben, wenn sie überhaupt Symmetrie ebenen besitzen, deren nothwendigerweise sechs, welche durch die ternären Axen gehen, und drei, welche durch die quaternären Axen gehen; sie haben zu gleicher Zeit ein Symmetriecentrum.