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Abhandlungen über symmetrische Polyeder. 37 q = 4, M— 6, Q = \M= 3. Die drei quaternären Axen, welche man so erhält, sind recht winkelig zu einander, also giebt es dann vier ternäre Axen (Satz XIV), und es kann keine grössere Anzahl geben, denn die neuen ternären Axen würden die quaternären Axen zwingen, sich zu wiederholen, so dass Q [> 3 wäre, was unmöglich ist. In dem Fall des Dodekaeders ist q — 3, M =20, Q = \M = 10. In dem Fall des Ikosaeders q = 5, M= 12, Q = \M= 6. [51] Seien jetzt M. M (i und ilf,, Fig. 12, drei benachbarte Ecken eines eingeschriebenen Ikosaeders. Die von dem Centrum der Kugel auf die Seite MM n M\ gefällte Normale ist augen scheinlich eine ternäre Axe, und da das Ikosaeder zwanzig paar weise parallele Flächen hat, so wird es zehn ternäre Axen haben; aber es kann deren keine grössere Zahl besitzen, denn für q — 3 findet man nur die beiden Werthe Q = 4 und Q= 10 (Satz XLI). Folglich etc. Zusatz.—Wir können also die sphäroedrischen Polyeder in. zwei Gruppen theilen: die quaterternären mit vier ternären Axen, welche wie die vier Hauptdiagonalen eines Würfels ange ordnet sind, und die decemternären mit zehn ternären Axen, welche wie die zehn Hauptdiagonalen eines regelmässigen Dode kaeders angeordnet sind. Quaterternäre Polyeder. Satz XLIV. —Wenn man einen Würfel construirt, welcher als Diagonalen die vier ternären Axen eines gegebenen quaterternären Polyeders hat, so sind die drei, vom Centrum der Form auf die Seitenflächen dieses Würfels gefällten Normalen, für das Polyeder drei Axen von gleicher Art, und besitzen binäre oder quaternäre Symmetrie. Man beschreibe um das Centrum der Form des Polyeders, dem Schnittpunkt seiner vier ternären Axen, als Mittelpunkt, mit der Einheit als Radius, eine Kugel, welche die oberen Enden unserer vier ternären Axen in A, A 0 , A { und A 2 , Fig. 11, schnei den soll. (Ich habe die Oberfläche dieser Kugel stereographisch auf die Ebene des grössten Kreises, dessen Pol A ist, projicirt; der Leser wird jedoch gebeten, der Darstellung so zu folgen, als