42 A. Bravais. Ich werde die Ebenen, welche durch die quaternären Axen gehen, mit P 4 bezeichnen und diejenigen, welche durch die ter nären Axen gehen, mit P 2 . Man hat schon früher, (bei dem Be weise des Satzes XLVI) gesehen, dass dies die einzig möglichen Symmetrieebenen sind. Nehmen wir das Vorhandensein der Ebenen P J an; M 0 G { M-, und Fig. 11, werden zwei Symmetrieebenen sein, welche sich in einer quaternären Axe sehneiden, folglich werden AM a P 0 und A x MqA 2 ebenfalls Symmetrieebenen sein (SatzXXV). Das System P 2 gesellt sich also dem System P 4 zu. Man würde ebenso beweisen, dass das System der Ebenen P 2 immer die Coexistenz des Systems der Ebenen P 4 bedingt. Jede der drei Ebenen des Systems P 4 ist normal zu einer der drei quaternären Axen. [56] Die sechs Ebenen des Systems P 2 sind je zu einer der sechs binären Axen normal; denn wenn man in einem Würfel mit vier verticalen Kanten, die Mitten von zwei einander gegenüberliegenden dieser vier Kanten verbindet, so wird jede dieser Geraden normal zu der Ebene sein, welche durch die beiden anderen Kanten geht. Das Vorhandensein der Symmetrieebenen zieht überdies dasjenige des Symmetriecentrums nach sich (Satz XXII). Satz LI. — Bei den quaterternären Polyedern mit quaternären Axen sind nur zwei Arten von Symmetrie zulässig, je nachdem sie Symmetrieebenen besitzen oder nicht. Dies folgt aus dem vorhergehenden Satze. In dem Falle, wo das Polyeder gar keine Symmetrieebene be sitzt, kann es kein Symmetriecentrum haben, in Folge des Satzes XXI. Das vollständige System der Homologen der EckeN, Fig. 11, bildet alsdann ein eingeschriebenes Polyeder von vierund zwanzig Ecken, welche sich zu dreien um jeden der acht Pole A, A 0 , A 1} A 2 , B 0 etc. gruppiren. Man hat sich bei der Figur darauf beschränkt, das Dreieck o 2 o 2 o 2 darzustellen, welches in diesem Falle den Pol A 2 umgiebt. Wenn das Polyeder seine neun Symmetrieebenen hat, so sind die acht Dreiecke SS' S", S Q S 0 ' S 0 " etc. durch acht Sechsecke ersetzt, und das System der Homologen umfasst achtundvierzig Ecken. Die Symbole dieser beiden Arten von Symmetrie sind die folgenden: