Abhandlungen über symmetrische Polyeder. 33 Es kann also nicht qfi>i und q' = 2 sein, folglich muss q > 2 und q [> 2 sein. Satz XL. — Wenn in einem Polyeder zwei Axen von höherer Ordnung als der zweiten existiren, so ist das Polyeder noth wendig er Weise sphäroe drisch. Denn wenn das Polyeder eine Hauptaxe besässe, würden die anderen Axen nothwendig binäre sein (Satz XV), was gegen die Voraussetzung ist. Folglich ist das Polyeder sphäroedrisch. Definition X. — Die Sätze XXXIX und XL zeigen, dass man noch eine andere Definition der sphäroedrisclien Polyeder, als diejenige auf S. 13 geben kann, indem man sagt, diese Poly eder seien »symmetrische Polyeder mit mehreren Axen, von denen wenigstens zwei eine Symmetrie von höherer Ordnung als der zweiten besitzen«. — Die Polyeder mit Hauptaxe können dann definirt werden als »Polyeder, welche eine oder mehrere Symmetrieaxen besitzen, von denen höchstens eine von höherer als der zweiten Ordnung ist«. Satz XLI. — In jedem sphäroedrischen Polyeder mit einer [47] Symmetrieaxe L q von höherer Ordnung als der zweiten, muss die Gesammtzahl Q der Axen von der Ordnung q, welche zu diesem Polyeder ge hören, nothwendigerweise gleich der Hälfte eines der Werthe sein, welche die Anzahl der Ecken eines regulären Hiilfspolyeders haben kann, das den fol genden Bedingungen genügt: 1. dass das Centrum sei ner Form zugleich ein Symmetriecentrum sei; 2. dass jede seiner Raumecken von q Seiten gebildet sei. Die Axe LI ist nothwendigerweise mit einer Axe U 1 ' ver bunden, wobei q' grösser ist als 2 (Satz XXXIX). Wenn man , 360° nun L r > um U 1 um einen Winkel gleich — , dreht, wird man den Ort einer zweiten Axe der Ordnung q erhalten, -welche von der ursprünglichen Axe L ( i verschieden ist (Satz X, Zusatz). Seien also OA und OB, Fig. 10, diese beiden Axen der Ord nung q, welche sich in 0, dem Mittelpunkt der Form des Poly eders schneiden. Aus O als Centrum beschreiben wir die Kugel vom Radius 1, welche die beiden Axen OA und OB in A und B schneidet, und ziehen den Bogen AB eines grössten Kreises. Man kann immer annehmen : Bogen A B <[ 90° oder = 90°. Ostwald's Klassiker. 17. 3