34 •A. Bravais. Im entgegengesetzten Fall würde man das Supplement des Win kels AOB in die Betrachtung einführen. Man kann ebenso immer annekmen, dass OA und OB so gewählt seien, dass ihre Neigung die allerkleinste von allen denen sei, welche die Axen der Ordnung q gegeneinander haben. Nachdem dieses festge- 360° stellt, drehen wir das Polyeder um -—— um die Axe 0 B von der Ordnung q. Der Punkt A wird nach C kommen : verbinden wir B C durch den Bogen des grössten Kreises, so wird ABC 360° 2 sein, und die Gerade OC wird ebenfalls eine Axe der Ordnung q sein (Satz X, Zusatz). Ziehen wir ebenso den Bogen des grössten Kreises CD, so dass 3fi0° CD — CB = AB und B CD = — 2 ist, so wird die Gerade OD ebenfalls eine Axe von der Ordnung q sein. 360° Wenn man das Polyeder ein zweites Mal um um die 2 Axe [48] OC und von B gegen I) dreht, wird die Wirkung dieser zweiten Drehung darin bestehen, den Punkt B auf D zu führen. Der Punkt A bleibt auf C. Die beiden Drehungen sind äquivalent mit einer einzigen Drehung um den Punkt M. den Pol des kleinen Kugelkreises, welcher durch die Punkte A, B, C und D gelegt ist*). Die doppelte Drehung um 0 B und 0 C ändert die scheinbaren Orte der Ecken des Polyeders nicht; ebenso wenig verändert die einmalige Drehung um M, welche sie ersetzt, diese scheinbaren Orte; also wird die Gerade OM eine Symmetrieaxe des Polyeders sein, und man sieht, dass, wenn man das Polyeder um einen Winkel, der dem Flächenwin kel A M C gleichkommt, um 0 M dreht, der Ort der Ecken da durch nicht geändert wird. Folglich ist dieser Winkel commen- surabel mit dem Umfang (Satz II). Also ist die Zahl der Ecken A, B, C, D etc., welche auf dem Umfang des kleinen Kreises AB CD gelegen ist, eine beschränkte: folglich bilden diese *) Dieser Pol JBT liegt im Schnittpunkt der grössten Kreisbögen BMund CM, welche die sphärischen Winkel AB C und B CD hal- biren.