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Abhandlungen über symmetrische Polyeder. 27 Ecken wiederherstellt, 360° 4 q beträgt, die Symmetrieordnung der Hauptaxe 4^ sein, was unmöglich ist. Ebenso können GL t) , C nicht direct ähnlich in Bezug auf (7P 0 sein, weil CP 0 keine binäre Axeist. Die Normale zu (7P 0 d.i. CP 3 ist ebenso wenig eine binäre Axe, weil 90° = qX P 0 C7P t ist, und weil also diese Normale eine Gerade der Gruppe CP 0 , (7P t , CP 2 ist. Also sind die benachbarten binären Axen invers ähnlich, ohne dass irgend eine Möglichkeit besteht, sie zur Deckung zu bringen. Die Fig. 8 l zeigt die Yertheilung der homologen Ecken für den Fall 2q = 6. Die Symmetrieebene, welche normal zur Hauptaxe liegt, ist als Ebene der Zeichnung gewählt. Die aus- gefiillten kleinen Kreise deuten die Ecken an, welche unter dieser Ebene liegen, die weiss gelassenen diejenigen Ecken, welche über derselben Ebene liegen. Bei der Feststellung der Symbole für die beiden Arten der jetzt untersuchten Symmetrie ist zu beachten, dass in dem Falle des Satzes XXIX die Symmetrieebenen, normal zu den binären Axen stehen und dass in dem Falle, wo die Flächen mit den Axen alterniren, sie nicht zu ihnen normal sein können. Wir werden also, 1. für den Fall der Coincidenz, 2. für den Fall des Alternirens beziehungsweise die Formeln haben: qU, qL'2, c, 17, qP 2 , qP' 2 ] und 2§P 2 , 0(7, 2qP]. Man ersieht aus den Sätzen XXVI, XXVII und XXVIII, dass die Polyeder mit Hauptaxe von gerader Ordnung nur sechs Arten von Symmetrie haben können. Man wird sie in der synoptischen Tabelle am Schlüsse dieses Aufsatzes aufgezählt finden. [41] In dieser Tabelle kann man q alle möglichen Werthe geben, von q — 1 inclusive bis q = oo. Polyeder mit Hauptaxe von ungerader Ordnung. Satz XXXI. — Ein Polyeder, welches ei ne Haupt axe von ungerader Ordnung besitzt, kann nicht zu gleicher Zeit eine zu dieser Axe normale Symmetrie ebene und ein Symmetriecentrum besitzen. Dies ist eine Folge des Satzes IV.