Abhandlungen über symmetrische Polyeder. 35 Ecken ein regelmässiges, eingeschriebenes Polygon, dessen Seiten zahl durch r bezeichnet werden kann. Man wird immer vor aussetzen dürfen, dass A und B zwei benachbarte Ecken sind; man kann also schreiben: eine Formel, in der die Zahl r nothwendigerweise grösser sein muss als 2. Da AMB und AB C Theiler von 360° sind, so muss das reguläre sphärische Polygon AB OD E, welches sich in CB C' D". . und in ÄAB C D' . .. etc. wiederholt, schliess lich die ganze Oberfläche der Kugel bedecken. Die Gesammt- heit der so erhaltenen Punkte wird hier die Ecken eines regel mässigen, eingeschriebenen Polyeders bilden, und dieses regel mässige Polyeder wird nothwendigerweise eines von denjenigen sein, in welchen sich die Seiten in einer Anzahl q zusammenfinden, um jede seiner Ecken zu bilden. Die fünf regelmässigen Polyeder der Geometrie haben sämmt- licli, ausgenommen das regelmässige Tetraeder, ein Symmetrie centrum in dem Centrum ihrer Form; aber in dem der Kugel eingeschriebenen Tetraeder übersteigt der Winkelabstand AB zweier Ecken den Werth 90°. Dieser Fall kann also nicht Vor kommen, weil er unserem Constructionsverfahren zuwider ist. 49 1 Das eingeschriebene Polyeder, welches aus der vorher gehenden Construction folgt, wird also entweder der Würfel sein, d. h. dem Fall q — 3, r = 4 entsprechen; man hat dann*) AB =70° 32', AM= 54° 44'; oder das reguläre Oktaeder, was dem Fall q— 4, r = .3 ent spricht; man hat alsdann: AB — 90°, AM = 54° 44'; oder das reguläre Dodekaeder, welches dem Fall q = 3, r = 5 entspricht; dann ist AB = 41° 49', AM — 37° 23'; *) Die Bögen AB und A M sind durch die bekannten Formeln ge geben : eos 4 AB — cosec — cos — und cos AM = cot — cot — 2 q r qr 3*