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46 A. Bravais. Bezug auf die ternäre Axe 0A 2 sind. In dem sphärischen Drei eck HGK sind die drei Winkel 77, G und K rechte. Also sind die drei Seiten HG, KG und HK gleich 90°. Die drei Axen OG, OIi und OK sind demnach drei recht winklige binäre Axen, und das sphärische Dreieck GHK ist ein solches mit drei rechten Winkeln. Die Ecke A 2 ist der Mittelpunkt dieses Dreiecks. Ebenso wird A x der Mittelpunkt des ebenfalls drei rechte Winkel besitzenden Dreiecks GHK' sein, B () das jenige [60] des ebenso beschaffenen Dreiecks G K' H', wenn 77' das untere Ende der Axe OH ist, und 74, der Mittelpunkt des Dreiecks KGH' mit drei rechten Winkeln. Die vier ternären Axen OA 2 , OA 4 , OB 0 , OB\ combiniren sich also mit den drei binären rechtwinkeligen Axen in derselben Stellung zu einander, welche die quaterternären Polyeder mit binären rechtwinkligen Axen charakterisirt. Anmerkung. — Man könnte an die Stelle der CombinationOM 2 , OA 4 , OB 0 , OB| eine der folgenden vier Combinationen setzen. [OA 0 , OA,„ OB u OB,], [OA„, OA 2 , OB,, OB 4 ] [OA t , OA,, OB u , OB,], [OA y , OA x , OB„ OB,]. Satz LVIII.— Die Polyeder[6L 5 , 10L 3 , 15L 2 , 0(7, OB] besitzen alle Elemente der Symmetrie der Polyeder [177*, 3B 2 , OG, OB]. Die Polyeder [6L 5 , loL 3 , 15L 2 , C, 15P 2 ] besitzen alle Elemente der Symmetrie der Polyeder [4P 3 , 3L 2 , C, 3P 2 ], Der auf die Symmetrieaxen bezügliche Theil dieses Satzes ist schon in dem vorigen Satze bewiesen worden. Man schliesst daraus leicht, dass die Polyeder [6L 5 , 10L 3 , 15L 2 , 0(7, 0 7 J ] ‘alle Elemente der Symmetrie der Polyeder [4L 3 , 3L 2 , 0(7, 0P] besitzen. Wenn das decemternäre Polyeder ausserdem noch fünfzehn Symmetrieebenen besitzt, so werden die Flächen KG. GH. HK der Fig. 12 sich darunter befinden, und werden die Ebenen 3 7 >2 der Polyeder [4 L 3 , 3 L 2 , C, 3 P 2 ] vorstellen. Da das Centrum der Symmetrie C in beiden Fällen existirt, so sieht man, dass die durch [4 L 3 , 3 L 2 , C, 3 P 2 ] charakterisirte Symmetrie in der voll ständigeren der Polyeder [OL 6 , 10L 3 , 15 JA, C, 15P 2 ] mit in begriffen ist. Anmerkung. — Die Lehrsätze LVII und LVIII sind für die allgemeine Theorie der symmetrischen Polyeder nur in direct von Bedeutung. Sie sind hier mit Rücksicht auf die Anwendung ge geben, welche man in der Krystallographie bei dem Studium des regulären Systems davon machen kann.