14 A. Bravais. Winkel SCs = 2 • Winkel S CP = 2 • Winkel s CP , und Cs = CS macht. Ebenso wird man das Homologe S' von s in Bezug auf die Ebene Cp bekommen, wenn man Winkel S' Cs = 2 • Winkel sCp und CS' — Cs macht, woraus durch Subtraction folgt: S' CS= 2PCp, CS' = CS. Indem man die Construction, welche mit S ausgeführt ist, mit der Ecke S' wiederholt, wird man ebenso auf ein anderes Homo loges S" kommen, welches ebenso durch die folgenden Gleichun gen für die Pole bestimmt ist: S"CS' = 2PCp, CS"=CS'. Wenn man also aus C mit einem Eadius CS den Kreis SS' S" beschreibt und den Bogen SS' eine gewisse Anzahl mal auf die sen Umfang aufträgt, so werden die Punkte SS'S" u. s. w., welche ein nothwendigerweise begrenztes System bilden, die Ecken eines regelmässigen , diesem Kreis eingeschriebenen Po- tygons sein. Wenn q die Zahl dieser Ecken ist, so sieht man, dass jedem Punkte S, q —■ 1 andere Punkte, die homolog zu S in Bezug auf die Normale zu dieser Ebene sind, entsprechen wer den. Diese Normale wird also eine Symmetrieaxe sein, deren Ordnungszahl q von dem Werthe des Winkels PCp abhängen wird. Zusatz. — Der Winkel SCS' ist nothwendigerweise von der Form ^ 360°, <1 worin p und q relative Primzahlen sind, und in dem Falle, wo N und S' zwei einander möglichst nahe Homologe sind, hat man SCS' = nach dem Zusatz zu Lehrsatz II. 360° i Satz VI. — Die symmetrischen Polyeder ohne Axen haben nur zwei verschiedene Ar ten der Symme trie, je nachdem sie ein Symmetriecentrum oder eine Symmetrieebene besitzen. [28] Denn sie können, nach dem Satze IV, nicht zu gleicher Zeit ein Symmetriecentrum und eine Symmetrieebene besitzen,