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20 A. Bravais. CL liegt, denn ihre erste Homologe, in Bezug auf die quaternäre Axe CL, würde weder normal noch parallel mit CyL liegen, und das wäre unvereinbar mit der Annahme, dass CyL eineHauptaxe ist. Nichts stellt sich also der Annahme entgegen, dass wir CL als Hauptaxe betrachten, und wir müssen es thun, weil ihre Sym metrieordnung eine höhere ist, als die Symmetrieordnung von CyL. Folglich kann, wenn CyL wirklich eine Hauptaxe ist, nie mals x — 4 sein. Es bleibt also nur die Annahme x = 2 übrig; die zweite Symmetrieaxe wird daher eine einfach binäre Axe sein. Satz XVI. — In jedem Polyeder mit Hauptaxe sind die £ binären Axen, weichein der zu der Hauptaxe nor- malenEbene liegen, jede gegen die benachbarte gleich geneigt, und sind abwechselnd von derselben Art. Denn seien CP und Cp, Fig. 3, zwei benachbarte binäre Axen, so wird die binäre Axe Cp die Axe CP zwingen, sich auf der entgegengesetzten Seite in CP zu wiederholen (Satz X, Zusatz). CP' zieht seinerseits das Vorhandensein der Axe Cp' nach sich, und so fort. Hieraus ersieht man, dass die q Winkel 180° PCp, p CP', PCp' u. s. w. unter einander gleich und = sein müssen. Die Axen CP und CP' sind von derselben Art und einander direct ähnlich mit Rücksicht auf die dazwischen liegende Axe Cp. Ebenso sind Cp und Cp' unter einander von gleicher Art und einander direct ähnlich mit Rücksicht auf die Axe CP', folglich u. s. w. Satz XVII. — Die Polyeder, welche eine Axe yL ferner q Symmetrieebenen, welche durch diese Axe gehen, und die zu der Hauptaxe normale Symmetrie ebene II besitzen, haben zugleich q binäre Axen in den Schnittlinien dieser y Ebenen mit der Ebene II. Der Schnitt zweier Symmetrieebenen ist immer eine Sym metrieaxe (Satz V); nun aber kann diese Axe nur binär sein (Satz XV), folglich u. s. w. Man kann, um diesen Lehrsatz zu beweisen, auch auf die Figur 5 zurückgreifen, wo CPQ eine der q Ebenen ist, welche durch die Axe yp gehen, und CPP' die Ebene II. [34] Sei X die Homologe der Ecke S in Bezug auf die Ebene ji, sei s die Homologe von 2 in Bezug auf die Ebene CPQ. Es