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Abhandlungen über symmetrische Polyeder. 5 [151 Satz III. — Wenn man das Polyeder/), das In verse von P, um zwei rechte Winkel um eine durch den Symmetriepol C gehende Gerade dreht, so wird das Polyeder p', welches man auf diese Weise erhält, sym metrisch zuPinBe ziehung auf dieEbene sein, welche normal zur Rotationsachse durch C gelegt ist. Sei NN', Fig. 3, die gegebene Gerade und QCQ' die durch C zu ihr senkrecht gelegte Ebene; sei S eine beliebige Ecke des Polyeders P, und s ihre Homologe im inversen Polyeder. Man fälle von s das Loth sr auf NN und verlängere dasselbe bis s' um die Entfernung rs' =rs. Es ist ersichtlich, dass nach einer halben Umdrehung um NN', s nach s' kommen wird. Ver binde S mit s’. Da s C= CS, sr = rs', so wird Ss' parallel mit NN sein und folglich normal zu der Ebene QQ'. Wenn R der Schnittpunkt von ' mit der Ebene Q Q' ist, so wird die Gerade CR normal zu NN' und folglich parallel mit ss' sein. Nun hat man s C = CS, also auch SR = Rs'. Folglich ist s' die homologe Ecke von S in dem Polyeder, das symmetrisch in Bezug auf P unter der Ebene QQ’ construirt ist. Das Gleiche würde mit jeder anderen Ecke des Polyeders P der Fall sein. Also wird eine Drehung von zwei rechten Winkeln um NN' das Inverse p zur Deckung mit//, dem Symmetrischen von P in Be zug auf die Ebene QQ', bringen. Q. e. d. Anmerkung. — Die Ebene QCQ' kann die Symmetrie ebene des Polyeders [P,p] genannt werden, wenn man (P, />') als ein einziges Polyeder auffasst. Satz IV.— Umgekehrt wird auch/?', das Symme trische von Pin Bezug auf eine beliebigeEbene Q Q', wenn man e s um zwei rechte Winkel um eine Normale zu der Ebene dreht, zu einem der Inversen von P wer den, und der Symmetriepol liegt dann in dem Schnitt punkt C der Ebene und der Rotationsaxe. Denn wenn man das Inverse p construirt, indem man C zum Symmetriepol nimmt, so können p und p zur Deckung ge bracht werden,/) mitp' oder/)' mit/), durch eine Drehung um zwei rechte Winkel um NN'. Zusatz I. — Es folgt aus den beiden vorhergehenden Sätzen, dass die verschiedenen zu P symmetrischen Polyeder, was ihre Form betrifft, nichts anderes sind als sein inverses Polyeder, und dass dieselben, was die Richtung ihrer Theile betrifft , den ver schiedenen Polyedern gleich sind, welche durch Drehungen des