Abhandlungen über symmetrische Polyeder. 1 \ nur eine einzige Symmetrieaxe vorhanden ist, wenn alle Symmetrie ebenen durch [24] diese Axe gehen und kein Symmetrieeentrum vorhanden ist, so existirt ebenso wenig ein Centrum der Form. Das Centrum eines regelmässigen Tetraeders ist ein Centrum der Form, aber kein Symmetriecentrum fiir dieses Polyeder. Definition VII. — Zwei Symmetrieaxen derselben Ordnung sollenAxen der selben Art heissen, wenn die Anordnung der Ecken um die eine dieselbe ist wie um die andere. Um die Gleichheit dieser Anordnung festzustellen, verbindet man in Ge danken die Ecken des Polyeders mit jeder der beiden Axen, und denkt sich das eine dieser beiden Systeme beweglich. Wenn dann gleichzeitig die bewegliche Axe mit der festen und die beweg lichen Ecken mit den festen zur Deckung gebracht werden kön nen, so heissen die Axen von derselben Art und direct ähnlich. Wenn die Polyeder, während die Axen zusammenfallen, nicht zur Deckung gebracht werden können , wenn sie nur in Bezie hung auf eine gewisse Symmetrieebene homolog sind, d. h.wenn in dem von Legendre (Elements de Geometrie) angenommenen Sinne eins symmetrisch zum anderen ist, so werden die Axen immer noch von derselben Art sein, aber sie sollen dann invers ähnlich genannt werden. Zwei Symmetrieebenen sind von derselben Art und direct ähnlich, wenn, falls man eine von beiden um ihre gemeinsame Schnittlinie dreht und das Polyeder an dieser Bewegung theil— nehmen lässt, die Orte der Ecken zur Deckung gelangen, sobald die erstgenannte Sjunmetrieebene mit der anderen zusammenfällt. Tritt dagegen die symmetrische Gleichheit der Geometer an die Stelle der deckbaren Gleichheit, so werden die Symmetrieebenen von derselben Art, aber invers ähnlich genannt. Wenn diese beiden Arten von Aehnlichkeit fehlen, so nennt man die Axen oder Ebenen der Symmetrie solche von ver schiedener Art. Zwei Axen von derselben Art sind nothwendigerweise von derselben Ordnung; aber das Gegentheil ist nicht nothwendig der Fall. Definition VIII. —- Ich nenne Hauptaxe eine Symmetrie axe, zu der alle anderen Axen, wenn es noch welche giebt, nor mal sind, und zu der alle Symmetrieebenen, wenn es deren giebt, parallel oder normal liegen — vorausgesetzt übrigens, dass die Ordnung der Symmetrie dieser Hauptaxe nicht niedriger als die jenige der Symmetrie der anderen Axen sei.