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Abhandlungen über symmetrische Polyeder. 13 [26] 8. Symmetrische Polyeder mit Hauptaxe; diese Klasse zerfallt in zwei Abtheilungen: Polyeder mit Hauptaxe von ge rader Ordnung und Polyeder mit Hauptaxe von ungerader Ord nung. 4. Symmetrische sphäroedrische Polyeder, welche eine oder mehrere Axen besitzen , von denen keine eine Hauptaxe ist. Diese theilen sich in zwei Gruppen; die quaternären Polyeder und die decemternären Polyeder, je nach der Anzahl der ihnen eigenen ternären Axen. § I. — Asymmetrische Polyeder. Da diese Polyeder weder Axen, noch Centrum, noch Ebenen der Symmetrie haben, können sie nach den vorhergehenden Be stimmungen dargestellt werden durch das Symbol [OP, 0 C, OP], § II. — Symmetrische Polyeder ohne Axen. Satz IV. —InjedemPolyeder,daseineSymmetrie- ebene und ein Symmetriecentrum besitzt, ist die Ge rade, welche durch dieses Centrum normal zu der Ebene gelegt ist, eine Symmetrieaxe gerader Ordnung. Seien PQ, Fig. 2, die Symmetrieebene, C das Centrum, S irgend eine Ecke des Polyeders, CaA die Normale zu dieser Ebene. Durch diese Gerade und S lege man die zu PQ nor male Ebene ACS, welche die Ecke s, die homologe von S in Bezug auf das Centrum C, ebenso wie die Ecke S', die Homo loge von s in Bezug auf die Ebene PQ enthält. Wenn man Nund S' verbindet, so ist ersichtlich, dass die Verbin dungsgerade senkrecht zu CA und dass aS' — aS sein wird. Die Bedin gung dafür, dass die Axe A C eine binäre sei. ist also erfüllt. Die Axe A C könnte aber auch eine quaternäre, senäre, allge mein, eine Axe der Ordnung 2 q, sein. Folglich u. s. w. Satz V. — Wenn zwei Symmetrieebenen in einem Polyeder vorhanden sind, so ist ihre Schnittlinie eine Symmetrieaxe. Sei S, Fig. 3, eine beliebige Ecke des Polyeders. Man nehme die Ebene, welche normal zu den beiden gegebenen Sym metrieebenen durch S gelegt ist, zur Ebene der Zeichnung; seien CP und Cp die Spuren dieser Ebenen auf der Ebene der Zeich nung. Man wird s, [27] das Homologe von S in Bezug auf die Ebene CP, erhalten, indem man in der Ebene P Cp