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Abhandlungen über symmetrische Polyeder. 21 ist ersichtlich, dass S und s homolog zu einander in Bezug auf CP sind, welches also eine binäre Axe des Polyeders ist. Satz XVIII. — Die Polyeder, welche eine ferner q binäre, zu A.1 normale Axen,unddie zu normale Symmetrieebene TL besitzen, haben auch q Symmetrieebenen, welche durch die Axe_^9 unddurch je eine der binären Axen gehen. Sei CP. Fig. 5, eine der binären Axen, sei CPP' die zu der Hauptaxe CA normale Ebene II. Die Ecke S wird eine Ho mologe in s auf der anderen Seite der binären Axe CP haben; die Ecke s wird eine Homologe in a auf der anderen Seite der Ebene II haben : die Punkte Sund a werden zu einander homolog in Bezug auf die Ebene CPQ sein; folglich wird letztere eine der Symmetrieebenen des Polyeders sein. Satz XIX. — Die Polyeder, welche eine Hauptaxe AP, ferner q Symmetrieebenen, welche durch diese Axe gehen, und ein Symmetriecentrum besitzen, haben zugleich q binäre Axen, welche normal zu einer dieser Ebenen durch das Centrum gelegt sind. Dieses ist eine Folge der Sätze IV und XV. Satz XX. — Die Polyeder, welche eine Axe AP, ferner q binäre Axen, normal zu^, und ein Symme triecentrum besitzen, haben zugleich q Symmetrie ebenen, die zu diesen binären Axen normal sind. Dies folgt aus dem Satze XXI, dessen Beweis folgt. Polyeder mit Hauptaxe von gerader Ordnung. Satz XXI. —• Jedes Polyeder, welches eine Axe von gerader Ordnung und ein Symmetriecentrum besitzt, hat eine Symmetrieebene, welche durch das Centrum geht und normal zu jener Axe liegt. Seien CA, Fig. 2, die Symmetrieaxe von der Ordnung 2g, C das Symmetriecentrum und PQ die zu CA normale Ebene. Die Ecke S hat 2 q — 1 Homologe in Bezug auf die Axe CA; wenn man also die Normale Sa auf CA fällt und sie [35] um aS' = aS verlängert, so wird S' eines dieser Homologen sein. In dem man S' mit dem Centrum C verbindet und um c2 — cS' verlängert, erhält man die Ecke 2, die Homologe von S' in Be zug auf den Mittelpunkt C. Augenscheinlich sind S und 2 Ho-