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4 A. Bravais. Aus Cs = CS, Cs' = C'S folgt, dass ss' — 2 C C, ferner, dass ss' parallel mit CC ist. Es seien ebenso t und t' die bei den Lagen, welche eine andere Ecke des inversen Polyeders nach einander einnimmt. Man hätte dann in derselben Weise tt' = 2 CC', tt' parallel mit CC. Wenn man also das Poly eder verschiebt, indem man es in der Richtung von C gegen C hin bewegt, und zwar parallel mit CC, und um einen Betrag = ICC', so gelangt es zur Deckung mit dem Polyeder p'. Q. e. d. Zusatz: Es folgt daraus, dass, wenn ein Polyeder P gegeben ist, sein Inverses, sowohl was seine Form, als die Richtung sei ner Theile in Bezug auf den absoluten Raum betrifft, vollkom men bestimmt ist; jedoch bleibt der Ort, den es einnehmen wird, unbestimmt und hängt von der Lage des Symmetrie- poles ab. Satz II. — In zwei inversen Polyedern sind die homologen Flächen paarweise einander gleich, und die Neigung zweier benachbarter Flächen in einem dieser beiden Körper ist der Neigung der homologen Flächen in dem anderen gleich. Dieser Satz liesse sich beweisen wie der Satz II des sechsten Buches von Legendre, indem man Scheiteldreiecke statt der • bei dem Beweise benutzten Trapeze mit gleicher Basis nimmt. Aber man kann auch auf einfachere Art verfahren wie folgt: Es sei zu beweisen, dass sowohl die Kanten, als auch die Kantenwinkel und die Flächenwinkel, welche die körperliche Ecke S, Fig. 2, bilden, dieselben sind, wie ihre homologen im inversen Polyeder. Da die Wahl des Symmetriepoles freisteht, nehmen wir S als Pol, verlängern die Kanten SM, SN, SP, SQ um Srn = SM, Sn = SN, Sp — SP, Sq=SQ u.s. w. Die beiden entgegengesetzten körperlichen Ecken werden nach Construction augenscheinlich paarweise einander gleiche Kanten haben, ihre Kantenwinkel werden als Scheitelwinkel paarweise gleich sein, und ihre Flächenwinkel werden ebenfalls als Schei telwinkel gleich gross sein; nun sind sowohl diese Kanten, als auch die Kanten- und Flächenwinkel im Polyeder und in seinem Inversen einander homolog. Derselbe Beweis lässt sich für alle körperlichen Ecken, folglich auch für alle Kanten- und Flächen winkel anwenden. Also sind die Flächen bei beiden Polyedern gleich und zu einander gleich geneigt. Q. e. d.