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40 A. Bravais. Bq A i M-2 auszudehnen, und das Gleiche trifft mit Rücksicht auf die binäre Axe OM für AqM v A 2 zu [Satz XXIII). In diesem Fall ist jedes der Dreiecke SS'S", S 0 S a 'S 0 ", S^ S\'S\" und S 2 S 2 S 2 " durch ein Sechseck ersetzt. Wir haben uns darauf beschränkt, dasjenige darzustellen, welches die Ecke B 0 umgiebt. Die vierundzwanzig Ecken des Polyeders lassen sich auf zwölf zurückführen, wenn die Ecke S, welche für die Stellun gen aller anderen als maassgebend angesehen wird, auf einen der drei grössten Kreisbögen A 0 AM 0 , A 1 AM l , A 2 AM 2 fällt. Diese Ecken können auf vier reducirt werden, wenn S mit A zu sammenfällt etc. Setzen wir jetzt voraus, dass M 2 GqM { eine Symmetrieebene vorstelle; [54] alsdann werden, in Folge des ternären Charakters des Poles A, auch M { G 2 Mq undM 0 G\ M 2 Symmetrieebenen sein. In diesem Falle wiederholt sich das Dreieck SS' S" um die Pole A 0 , A t und A 2 . Wir haben uns darauf beschränkt, diese Art der Wiederholung um den Pol A t abzubilden. Das Dreieck ff er' ff" ist alsdann das Homologe von dem Dreieck SS' S" in Bezug auf die Symmetrieebene M 2 G l Mq . Uebrigens können diese beiden Systeme von Symmetrieebenen nicht gleichzeitig Vorkommen, denn es würde sonst vier Sym metrieebenen geben, welche sich im Pol Mq schnitten, und die Axe O Mq wäre dann mindestens quaternär (Satz XI), was den im Satze gemachten Bedingungen widerspricht. Satz ML VII. — Die quaterternären Polyeder mit binären rechtwinkeligen Axen können nur unter der Bedingung ein Symmetriecentrum haben, dass sie drei Symmetrieebenen besitzen, welche die binären Axen paar weise verbinden, und umgekehrt zieht das Vor handensein dieser Ebenen dasjenige des Symmetrie- centrums nach sich. Dies ist eine Folgerung aus den Sätzen XXI und XXII. Satz XLVIII. ■— Die quaterternären Polyeder mit binären rechtwinkeligen Axen können nur drei ver schiedene Arten von Symmetrie haben, je nachdem sie keine Symmetrieebenen, oder sechs durch die ternären Axen gehende, oder drei durch die binären Axen ge hende Symmetrieebenen besitzen. Dies ist eine Folgerung aus dem Zusatze zu dem Satze XLV und aus dem Satze XLVI. Mit Rücksicht auf den Satz XLVII