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32 A. Bravais. der binären Axen würde sechs sein, was wir eben als unmöglich bewiesen haben. Sei also P eine Symmetrieebene, welche durch L 2 geht. Wenn eine zweite Symmetrieebene P' existirt, so muss sie normal zu P sein, sonst würde ihre Schnittlinie eine Axe sein, deren Ordnung höher als 2 wäre (Satz XI). Wir wollen also sehen, ob die Lage dieser Ebenen eine solche sein kann, dass das Polyeder keine Hauptaxe hat. Wenn die Ebene P weder durch L' 2 , noch durch L" 2 geht, so muss P' durch L 2 gehen, sonst würde ihre Schnittgerade mit P eine vierte binäre Axe vorstellen, was unmöglich ist. Ebenso verhielte es sich mit den anderen Ebenen P" und P" , welche sämmtlich nothwendiger Weise durch L 2 gehen müssten. Also würde in diesem Falle die Axe L 2 den an die Hauptaxe gestellten Anforderungen genügen, und das Polyeder wäre nicht sphäro- edrisch. Wenn im Gegentheil die Ebene P nicht allein L 2 , sondern noch eine der beiden binären Axen L' 2 und 1 2 (etwa die Axe JJ 2 ) enthält, so wird die Ebene P', welche immer durch die zur Ebene P Normale, d. h. durch L" 2 gehen muss, die Axe L 2 oder die Axe L' 2 (etwa die Axe L 2 ) enthalten, damit ihre Schnitt gerade mit P nicht eine vierte binäre Axe bilde. Wenn es dann noch eine dritte Ebene P" giebt, so muss dieselbe gleichzeitig zu P und P' senkrecht sein (vergl. oben); sie wird also durch L' 2 und L" 2 gehen, und es kann keine andere Symmetrieebene vor handen sein. In diesem Fall kann irgend eine der Axen L 2 , L' 2 und L" 2 [46] als eine Hauptaxe angesehen werden, und das Polyeder ist nicht sphäroedrisch. Folglich kann man nicht q — 2 und q = 2 haben. Setzen wir jetzt voraus, dass q [> 2 und q = 2 ist. Die beiden Axen LI, L' 2 werden rechtwinkelig zu einander sein, sonst würde die Axe L' 2 die Axe LI zwingen, sich wenigstens ein Mal zu wiederholen, und die Zahl q' wäre kleiner als die Ordnungszahl zweier Axen des Polyeders, was nach den vorher gemachten Voraussetzurfgen nicht möglich ist. Aus demselben Grunde kann es ausserhalb der zu Li normalen Ebene keine weitere Axe geben. So ist also der ersten Bedingung, dass LI eine Hauptaxe sei, Genüge gethan. Ebenso müssen die Symmetrieebenen des Polyeders, welche der Bedingung unterworfen sind, die Axe LI nicht neu zu er zeugen, nothwendiger Weise Li enthalten oder rechtwinkelig dazu sein. Also wird LI eine Hauptaxe, und das Polyeder kein sphäroedrisches sein.