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30 A. Bravais. Dieser Satz lässt sich genau so wie der Satz XXYIII be weisen. Satz XXXVII.— Wenn in denPolyedern mit Haupt axe ^ 2?+1 , die Symmetrieebenen die binären Axen enthalten, so ist eine Symmetrieebene normal zur Hauptaxe, aber kein Centrum der Symmetrie vor handen. Der Beweis ist derselbe wie für den Satz XXIX. Aber die Folgerung bezüglich des Vorhandenseins des Symmetriecentrums trifft wegen des Satzes XXXI nicht mehr zu. Satz XXXVIII. — Wenn in den Polyedern mit Hauptaxe yL 2( i +v die Symmetrieebenen mit den bi nären Axen alterniren, so sind letztere sämmtlich von derselben Art und fallen mit den Normalen der Sym metrieebenen zusammen; es existirt alsdann ein Sym metriecentrum, aber keine Symmetrieeben e normal zu der Hauptaxe. Die binären Axen CL Ü , CL U C Li, Fig. 9, theilen alsdann den halben Umfang eines Kreises, der um C als Mittelpunkt be schrieben ist, in 2q + 1 gleiche Theile. Da diese Zahl eine un gerade ist, so wird eine der Halbirenden der Winkel L 0 C L,, L { CLi etc. normal zu CL n sein; folglich wird es immer eine zu der Axe C L n normale Symmetrieebene geben. Es ist dies die Ebene, deren Spur auf der Ebene der Fig. 9 die Gerade 1\ Cp l darstellt, wobei letztere Ebene normal zur Hauptaxe vorausgesetzt ist. Das gleichzeitige Vorhandensein einer Symmetrieebene und einer binären Axe, die normal zu ihr steht, zieht dasjenige eines Symmetriecentrums nach sich (Satz XXII). [44] Ausserdem sind die binären Axen sämmtlich mit Rück sicht auf die Hauptaxe direct ähnlich, und folglich von derselben Art. Die weissen und schwarzen Kreise der Fig. 9 zeigen die Stellung der homologen Ecken an. Die schwarzen bedeuten die unter der Zeichnungsfläehe gelegenen, die weissen Kreise die über dieser Ebene gelegenen Ecken. Die Symbole der Polyeder, auf welche sich die Sätze XXXVII und XXXVIII beziehen, werden also nach den S. 12 ange nommenen Bezeichnungen sein: [^ 29 + 1 , (2*7 + 1 )L\ C, (2y + 1)P*] und [q + 1) L 2 , 0 C, IT, [2q + 1) P], Man sieht aus den Sätzen XXXIV, XXXV und XXXVIII, dass die Polyeder mit Hauptaxe von ungerader Ordnung nur die