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78 Axel Gadolin. Flächen P und Q, und 0A! der Durchschnitt zweier anderer möglicher Flächen P' und Q'. Als Coordinatenebenen mögen die Flächen P und P' und noch irgend eine beliebige andere Fläche genommen werden. Es sei in der Figur MOS die Fläche P, MOT die Fläche P' und SOT die dritte Coordinatenebene. Durch einen, auf dem Durchschnitt von P und P angenommenen Punkt M legen wir Ebenen parallel den Flächen Q und Q'; diese werden die Ebenen P und P' in den Geraden MS, par allel OA, und MT, parallel OA', schneiden. Nun ist aber klar, dass die Ebene MST, welche parallel der durch OA und OA' gehenden Ebene ist, auf den Axen OS und OT die Para meter OS und OT hat, welche den Parametern der Flächen Q und Q' auf denselben Axen gleich sind, und dass in Folge dessen die Ebene MST einer möglichen Krystallfläche par allel ist. Wenn einer der Punkte S und T, z. B. S, mit 0 zusammenfällt, bleibt der Satz immer noch richtig, weil als dann die Ebene MST mit der Fläche P' identisch ist. Wenn gleichzeitig beide Punkte S und T mit dem Punkte 0 zu sammenfallen, so wird der Satz dadurch nicht ungültig, weil alsdann die beiden Axen OA und OA' in eine einzige zu sammenfallen, so dass die Bedingungen des Satzes nicht mehr erfüllt sind. Anhang B. 2 7t Wenn n eine ganze Zahl ist, so wird cos — nur dann n commensurabel mit der Einheit, wenn sein absoluter Werth eine der Zahlen 0, oder 1 ist*). Bekanntlich ist 2 2 " -1 cos 2 ”£ = cos 2nx + (2n) { cos (2n—2) x -j- \ + (2n) 2 cos (2n—4)x I (1) + i cos 2x + 4-(2m)„ . . . J *) Der Beweis dieses Satzes wurde dem Verf. durch Herrn N. Boudaief mitgetheilt.