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lieber d. Herleitung aller krystallographischer Systeme etc. H Umdrehung um die Axe A lässt die Fläche a mit einer an deren a, zusammenfallen, und eine gleiche Drehung um die Axe B bewirkt die Coincidenz dieser beiden Flächen mit zwei anderen a und a\, so dass die Bögen Aa, = A'a — Ala', — b irnd die Winkel BAa,= BAla', = B"A'a' — ß. Wenn C der Pol des Kreises AB ist, so hat man CA — CA' = 90° und Winkel ACA' = 2 a. Dreht man den Krystall um den Winkel 2 a um die Gerade C, so fällt der Punkt A mit Al zusammen, ferner a mit a\ und a, mit a . Hieraus ist ersichtlich, dass, welche Lage a auch habe, es immer eine andere Fläche giebt, mit der sie durch eine Drehung des Krystalls um den Winkel 2« um die Gerade G zur Deckung gebracht wird. Diese Gerade ist also eine Deckaxe mit dem Winkel 2 a. Aus dem eben Gesagten ergiebt sich, dass 2 a nur die Werthe 60°, 90°, 120°, 180° oder ein ganzes Vielfaches dieser Zahlen haben kann, woraus andererseits wieder folgt, dass der Winkel a, welchen zwei Deckaxen von 60°, 90° oder 180° einschliessen, nur die Werthe 30°, 45°, 60°, 90° oder deren Supplemente besitzen kann. § 7. Die gleichen Schlüsse, wie im vorigen Paragraphen, nur in entgegengesetzter Reihenfolge, führen zu dem Resultate, dass umgekehrt, wenn eine Deckaxe von 180°, 90° oder 60° und senkrecht dazu eine andere Deckaxe mit dem Winkel 2 a existirt, alsdann ausser Deckaxen derselben Art, wie die erste [10], und mit ihr Winkel 2 a bildend, noch in der gleichen, zur zweiten Axe senkrechten, Ebene Axen von 180° existiren, ivelche den Winkel zwischen den Axen der ersten Art halbiren. § 8. Eine Axe von 90° kann mit einer anderen Axe von ISO 0 , 90° oder 60° nur den Winkel 90° oder 45° (resp. dessen Supplement) bilden. Es sei B (Fig. 6] eine Axe von 90° und A eine zweite Axe von 180°, 90° oder 60°. Wenn ABA' — 90° und Bogen BA = BA', so ist A' ebenfalls eine Deckaxe der selben Art wie A, und man hat cos AA' — cos 2 AB. Die Bögen AA' und AB können nach § 6 keine anderen Werthe annehmen, als 30°, 45°, 60°, 90° oder deren Supple mente, woraus folgt, dass die Cosinus dieser Winkel keine anderen Werthe haben können, als zk V3, i; 1 2 V2. ± \ und 0.