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Ueber d. Herleitung aller krystallographiseher Systeme etc. 9 welchem keine fünf benachbarten Polkanten der Pyramide existiren, d. h. wenn a = 90° oder = 120°; da aber cos 90° = 0 und cos 120° = —so liegt auch in diesen Fällen keine Ausnahme von dem Satze vor. § 4. Es ist leicht zu beweisen, dass der kleinste Deck winkel keine anderen Werthe haben kann, als 60°, 90°, 120° und 180°. Zunächst muss dieser Winkel einen ganzen Theil von 360° bilden. Es möge a der kleinste Deckwinkel sein, welcher der Deckaxe A (Fig. 4), die wir senk recht zur Zeichnungsebene an nehmen wollen, entspricht. Sei AB eine beliebige Richtung senk recht zu A, welche unveränderlich mit dem Krystall verbunden bleibt, wenn derselbe um die Axe A ge dreht wird. Seien B 1 , B u . B IH . B lv , B\ B n , B™ die auf einanderfolgenden Stellungen, welche jene Richtung durch auf einanderfolgende Drehungen des Krystalls, deren jede = «, um die Axe A anuimmt. Wenn a nicht einen ganzen Theil von 360° beträgt, so giebt es immer eine ganze Zahl n, für welche [n — 1) a < 360° und na j> 360°. Hiernach wird, wenn man den Krystall n Dre hungen, jede — a, um die Axe A, immer in demselben Sinne, unterworfen hat, die zuletzt erreichte Lage der Richtung AB zwischen die beiden ersten fallen, d. i. in der Figur B yn zwischen B und B 1 . Dann aber ist ohne Weiteres klar, dass man den Krystall, um wieder Deckung der Flächen zu be wirken, nur um einen Winkel B YII AB I um die Axe A zu drehen braucht, und da der letztere Winkel kleiner als a ist, so widerspricht dies der gemachten Voraussetzung, dass a der kleinste Deckwinkel ist. Dieser Widerspruch verschwindet nur, wenn wir annehmen 360° bildet. Auf der anderen Seite ist leicht einzusehen, dass cos a einen rationalen Werth besitzen muss. Denn die aufeinander folgenden Stellungen, welche eine beliebige, gegen die Deckaxe geneigte Krystallfläche durch aufeinanderfolgende Drehungen a. des Krystalls um diese Axe nach und nach annimmt, fallen dass a einen ganzen Theil von