12 Axel Gadolin. Unter diesen Werthen giebt es offenbar nur zwei Systeme, welche der vorhergehenden Gleichung genügen, nämlich: und cos A A' — l, cos AB = ± V'2 cos AA' = 0, cos AB — 0, so dass der Winkel AB keine anderen Werthe annehmen kann, als 45°, 135° und 90°. § 9. Eine Axe von 60 0 ist immer senkrecht zu anderen Axen von 60°, 90° oder 1S0°. Es sei B (Fig. 6) eine Axe von 60° und A eine zweite Axe von 60°, 90° oder 180°. Wenn ,, der Winkel ABA' — 60° und der Bogen BA' = BA, so wird A! / \ eine Axe derselben Art wie A sein. / \ Alsdann ist: I £ 1 cos A A! — cos 2 AB -f- ^ sin' 2 AB > / ; = £ (cos' 2 AB -f- 1) Folglich: AS._ :^A' Fig. 6. cos' 2 AB = 2 cos AA' 1. Nach § 6 können cos AB und cos AA' nur die folgenden Werthe annehmen: ±*^3, 1V2, ± 1 oder 0. Unter diesen genügt, wie leicht zu ersehen, der angege benen Gleichung nur ein einziges System, nämlich: cos A A' — l , cos AB = 0 , [11] d. h. der Winkel AB zwischen einer Axe von 60° und einer zweiten Axe von 60°, 90° oder 180° ist stets ein rechter. § io. Es ist nunmehr nicht schwer, alle möglichen Arten der Combination von Deckaxen von 60°, 90° oder 180° auf zufinden. 1) Gombinationen, in denen eine Axe von 60° vorhan den ist. Da die anderen Axen nach § 9 senkrecht zu dieser Axe von 60° sind, so müssen diejenigen von' ihnen, welche der gleichen Art sind, unter einander Winkel von 60° bilden, folglich können es weder solche von 60° (§ 9), noch solche