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16 N. H. Abel. (38) Giebt man m die Werthe 0, 1, 2, . . . ft — 1, so hat mau den Werth aller Wurzeln der Gleichung. Der vorausgehende Ausdruck für die Wurzeln enthält all gemein eine fi — 1-fache Anzahl verschiedener Radicale der f«,- Form y u. Daher hat er eine tt«“ '-fache Anzahl von Werthen, während die Gleichung cpx = 0 nur ft Wurzeln hat. Aber man kann dem Ausdruck für die Wurzeln eine andere Form geben, welche nicht dieser Schwierigkeit unterliegt. Wenn v.— nämlich der Werth von yv l festgelegt ist, so ist auch der jenige der anderen Eadicale, wie wir sogleich sehen werden, bestimmt. Wie auch immer die Zahl ft beschaffen ist, gleichgültig ob sie eine Primzahl oder keine Primzahl ist, so kann man stets eine Wurzel et der Gleichung «f* — 1=0 finden, dass die Wurzeln: a i 1 ß !l a 3 ! ' ' • a ,U — l durch: (36) a, er, a 3 , . . . cef t —4 dargestellt werden können. Beachtet man dies, so hat man: (37) Yvjt = x -f- a k Gx -f- a ik Q' l x + • • • -f- 0^©,« Yvi — x a Gx + er Q^x + co u_1 Q^~'x . Hieraus folgert man: | Yvfr (yV|) = (x-\- a k Qx-\- 6^ x-\ Q^ l ~ 1 x) | X(* + «©*+« 5 © 2 *-1 (-co“ -1 ©'“-'# 4- *. [142] Die rechte Seite dieser Gleichung ist eine rationale Function von *, welche ihren Werth nicht ändert, wenn man an die Stelle von x irgend eine andere Wurzel Q m x setzt; dies ersieht man leicht, indem man diese Substitution ausführt und auf die Gleichung Q! i+V x = Q v x Rücksicht nimmt. Be zeichnet man die fragliche Function, um die es sich handelt, mit ipx, so hat man: V v k • (yVi) = xpx — ipQx= ipQ*x = ■ • • =ipQl l ~'x ,