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20 N. H. Abel. 1 1 , , / r5 + 2»jjr , _ . . , , (47)* — — —M + Kplcos |- V— lsin- | + V+ ,K=I|.( m ,miSS) + V- Isii <5 + 2mn\ / 2 (<5+2 m u)' ') + [F+ G V=i)Yj. (cos W+* m ”) +y =l Bi n 3(() '+ 2m7r) ) + (/;+,,]/=!) • (cos 4(<? +f- m7r )+ l/3lsin«^^l) + etc.| , + q, A, f, g, F, G u. s. w. sind rationale Functionen von cos — , sin — und den Coefficienten von cnx und (■) x. Man ,< t fi findet alle Wurzeln, indem man m die Werfhe 0, 1, 2, 3, ... u — 1 giebt. Der voraufgehende Ausdruck für x ergiebt das Theorem Y. Um die Gleichung cpx = 0 aufzulösen, ge nügt es: 1) den Umfang des ganzen Kreises in ft gleiche Theile zu theilen, 2) einen Winkel d, den man construiren kann, in u gleiche Theile zu theilen, 3) die Quadratwurzel aus einer einzigen Grösse q zu ziehen. 12 ) Dieses Theorem ist nur die Erweiterung eines ähnlichen Theorems, welches Herr Garns in dem oben citirten Werke pag. 651 ") ohne Beweis angiebt. [145] Es ist noch zu bemerken, dass die Wurzeln der Gleichung rpx = 0 entweder sämmtlich reell oder sämmtlich imaginär sind. Wenn eine Wurzel x reell ist, so sind es auch thatsächlich die anderen, wie die Ausdrücke: Qx , 0 2 * , ... ©(“~'x , welche nur reelle Grössen enthalten, es zeigen. Wenn hin gegen x imaginär ist, so sind es auch die andern Wurzeln, denn wenn z. B. Q m x reell wäre, so wäre auch Qi u ~ m (Q m x) = &‘ u x — x gleichfalls gegen die Voraussetzung reell. In dem ersten Falle ist a positiv und in dem zweiten negativ.