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6 N. H. Abel. bezeichnet, so wird diese letztere Gleichung auch befriedigt, wenn man an Stelle von x irgend eine Wurzel der Gleichung cpx = 0 setzt. Die linke Seite der Gleichung (3) ist eine rationale Function von x, daher hat man: (4) cp(Qx) = 0 , wenn cpx — 0 , d. h. wenn * irgend eine Wurzel der Gleichung cpx — 0 ist, so ist es auch die Grösse Qx. Da Qx 4 eine Wurzel der Gleichung cpx — 0 ist, so ist jetzt infolge des Voraufgegangenen auch 0©x 4 eine Wurzel; ebenso sind © © © x 4 und die weiteren Grössen, die man er hält, indem man die Operation, welche mit © bezeichnet ist, eine beliebige Anzahl mal wiederholt, Wurzeln. Es sei zur Abkürzung: 0 0*, = ©-*! ; 0 0-x, — 0 3 x, ; 0 0 3 x, = © 4 x, u. s. w. gesetzt, dann hat man die Reihe: (5) x t , ©x, , 0 2 *, , Q 3 x i , Q i x l , . . . und alle diese Grössen sind Wurzeln der Gleichung cpx — 0. Die Reihe (5) wird eine unendliche Anzahl von Gliedern haben, aber da die Gleichung cpx = 0 nur eine endliche Anzahl verschiedener Wurzeln hat, so müssen mehrere Grössen der Reihe (5) unter einander gleich sein. Wir setzen daher z. B. voraus: Q m x l = Q m+n x i , oder: (6) Q n (0 m x i ) — e m x l = O, indem man beachtet, dass Q n+m x { = Q n Q m x i ist. Die linke Seite der Gleichung (6) ist eine rationale Function von Q m x l ; nun ist diese Grösse eine Wurzel der Gleichung cpx — 0, daher kann man infolge des oben ausgesprochenen Theorems x l an die Stelle von & m x i setzen. [134] Dies er- giebt: (7) & n x l = x i , hierbei kann man voraussetzen, dass n den kleinsten mög lichen Werth bezeichnet, so dass die Grössen: (8) x, , ©x, , © 2 x, , . . . © ,1- 'x, .alle unter einander verschieden seien.