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Eine besondere Klasse algebraisch auflösbarer Gleichungen. 9 dann sind die Wurzeln dieser Gleichung: x, , ©x, , 0*35, , ... 0" _l x, und die Coefficienten A[, A", . . . sind rationale und [136] symmetrische Functionen dieser Grössen. Wir werden sehen, dass man die Aufstellung dieser Coefficienten von der Auflösung einer einzigen Gleichung m-ten Grades abhängig machen kann. Um dies nachzuweisen, betrachten wir irgend eine ratio nale und symmetrische Function von x,, 0x,, 0' 2 x,, ... G n ~'x i , sie sei: (15) 2/, = ©*!, ©X> ••• Setzt man an die Stelle von x, der Reihe nach x 2 , x 3 , . . . x mi so nimmt die Function y { verschiedene Werthe an, welche wir mit y i , «/ 2 , y 3 , ... y m bezeichnen. Beachtet man dies und bildet eine Gleichung w*-ten Grades: (16) y m + p K y m ~' +p i y m ~ i H 1-Pm-iV + Pm = 0 > deren Wurzeln ?/,, , ?/ 3 , . .. y m sind, so behaupte ich, dass die Coefficienten dieser Gleichung rational durch die bekannten Grössen, welche man durch die vorgelegte Gleichung als ge geben voraussetzt, ausgedrückt werden können. Da die Grössen ©x,, 0 3 x,,... 0 re-1 x, rationale Functionen von x, sind, so ist es auch «/,. Es sei: ( y, = , (17) l dann haben wir auch: { y t = Fx t ; y 3 = Fx 3 ; ... y m = Fx m . Setzt man in (15) der Reihe nach 0x,, 0 2 x,, © 3 x,, ... Q n ~'x l an Stelle von x, und beachtet, dass 0"x,=x,, Q n+ 'x l — ©x,, Q n+ ‘*x l = 0 2 x,, u. s. w. ist, so ist klar, dass die Function y { ihren Werth nicht ändert, daher hat man: */, = Fx t = F[Qx,) = F[Wx { ) ==••■= F[Q n -'x { ) und ebenso: y t = Fx, = ^(©xj = ^(©X) = •••== , Vm = Fx m = F[Qx m ) = F(&x m ) = ••• = F{0 n ''x m ).