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21 2 §• 21. Erster Tkeil. Fünftes Capitel. ' Den zweiten für die technische Mathematik wichtigen Gegen stand betrifft Lagrange’s Interpolation sformel für den Fall, daf> die Intervalle (Unterschiede) ungleich sind, eigentlich vollkommen willkürlich wachsen *). Die betreffende (erste) Abhandlung hat Lagrange 111 den ,Memoiren der Pariser Akademie 1 für 1771 geliefert. Nachher behandelte er dieselbe in den ,Legons elcmentaires sur les mathe- matiques donnees äl’ecole normale en 1795 1 und in dem .Journal de l’lcole -polytechniqueS cahiers VII et VIII, T. II, 1812, und Das was Lagrange (,Meeanique analytique 1 , Partie I, Section IV Nr: 14 und 15) als die beiden Fundamentalsätze der Variationsrechnung bezeichnet, behandelt Euler als Lehrsätze, die er beweist und wovon er den ersten (a.a.O. Bd. IH, S. 396) folgendermaßen ausdruckt: Die Variation des Differenzials ist immer dem Differenziale der Variation gleich” oder es ist d'dV = dd'V, wie auch die Größe V beschaffen sein mag, welche auch eine Variation erleidet, während sie durch die Differenziahen wachster Lehrsatz (a . a . 0 . Bd. III, S. 414) lautet also: „Die Variation der Integralformel / W ist immer gleich dem Integrale der VanatHm^desscdben Differenzialausdrucks, dessen Integral gegeben ist, oder es ist / J Wird also IF= Vdx gegeben, so hat man auch dj Vdx - Jd(Vdx). Weiterhin (a.a.O., S. 421) zeigt Euler noch, wie es die Natur der größten und kleinstenWerthe erfordert, daß die Variation der Formel J Vdx ver schwindet, also in diesem Falle zu setzen ist: o = iJ fVdx = J ä(Vdx). Hiermit erklären sich zugleich die Seite 212 zur Darstellung des Principes der kleinsten Wirkung gewählten Formen: o = ä 2m fvds = d' 2m f dtv 2 . 1) Die nach Newton (,Principia‘ III, Lemma V) gebildete Interpolations formel für gleiche oder doch ziemlich gleiche In tervalle , erörtert Lagrange in seinem ,Le?ons sur le calcul des fonctions* (Ausgabe von 1806), pag. 313 und schreibt schließlich (indem wir zugleich-auf S. 218 verweisen): (7) t\y , 0> {o> - i) y , M (q> - i) (0> - 2j) A 3 y y = y + <° -J- + ” 1 . 2 i 1 1.2.3 V etc. Für die meisten technischen Zwecke genau genug, wenn man überdies y statt ,(t), o, = * - Ay = y,-y, und i = setzt, läßt sich die ein- y fache Gleichung verwenden: y=y,+ (*-*,) |--f; «der ,, X — Xi - -y t 4-(2/2-2/.) Eine Anwendung letzterer Gleichung findet sich u. A. in der Hydromechanik des Verfassers. Zweite Auflage, S. 312.