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Häufig tritt das Problem auch in der Form auf, daß nach dem Transportplan gefragt wird, für den die insgesamt benötigte Tonnenkilometerzahl möglichst gering ist. Diese zweite Version unterscheidet sich von der ersten nur dadurch, daß statt der Kosten die Entfernungen betrachtet werden. Das mathematische Modell besitzt in beiden Fällen genau die gleiche Gestalt. Wir werden hier stets die Formulierung für die Transportkosten benutzen. Zur Aufstellung des mathematischen Modells numerieren wir die Ausgangs orte von 1 bis m und die Bestimmungsorte von 1 bis n und führen die folgen den Bezeichnungen ein: : Anzahl der Vorratseinheiten im Ausgangsort i; i = 1, 2, . . . , m bj : Anzahl der Bedarfseinheiten im Bestimmungsort j; j — l, 2, . . . , n C{j : Transportkosten je Mengeneinheit beim Transport vom Ausgangsort i zum Bestimmungsort j (in irgendeiner Zahlungseinheit) Xij : zu bestimmende Anzahl von Mengeneinheiten, die vom Ausgangsort i zum Bestimmungsort j transportiert werden. Es ist selbstverständlich, daß «,• "> 0: bj ~> 0 für alle i und j gelten muß. Wir setzen voraus, daß außer den a t - und den bj auch die Einheitstransport kosten Cjj für jedes i und jedes j gegeben sind. Weiter nehmen wir an, daß von jedem Ausgangsort zu jedem Bestimmungsort Transporte möglich sind. Diese Annahme werden wir später durch geschickte Wahl der betreffenden Cjj fallenlassen. Weiterhin setzen wir vorerst voraus, daß die Summe aller in allen Ausgangs orten vorrätigen Mengeneinheiten gleich ist der Summe aller Bedarfseinheiten aller Bestimmungsorte. Wir fordern also die Gleichheit zwischen Gesamtvorrat und Gesamt bedarf, d. h. m n S a i = 2 bj ■ (3.1) <=i j=i Wir werden später erkennen, daß diese in der Praxis nicht immer erfüllbare Gleichgewichtsbedingung die Allgemeinheit des Modells nicht einschränkt, da man die Bedingung (3.1) durch einen Kunstgriff stets erfüllen kann. Ferner nehmen wir noch an, daß es keine die Lösung des Problems beein flussende Begrenzung der Durchlaßkapazität der einzelnen Transportver bindungen gibt. Die Lösung der Aufgabe können nur solche Kapazitäts begrenzungen K t j beeinflussen, für die K tJ < min (a,-, bj) gilt; denn im Höchst fall können d { j — min bj) Mengeneinheiten vom Ausgangsort i zum Be stimmungsort j transportiert werden. Wir werden aber auch eine Verall gemeinerung des Transportproblems angeben, für den Fall, daß die Durchlaß kapazitäten Kjj <~ min (« f , bj) sind. Endlich setzen wir noch voraus, daß die Transportkosten entlang jeder Transportverbindung proportional sind zur Anzahl der transportierten Mengen einheiten. Diese Voraussetzung ist wichtig für die Linearität des Modells. Das Ziel der Aufgabe ist die Minimierung der Gesamttransportkosten. Wir müssen also diese Kosten als lineare Funktion der unbekannten Anzahlen
