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Ueber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 61 wendiger Weise über der Ebene OAO'B gelegen ist. Wenn wir dieselbe Construction auf der an die Ebene OAO'B an grenzenden Ebene wiederholen, die unter derselben gelegen ist, so erhalten wir einen anderen [58] Gitterpunkt D’, dessen Lage in Bezug auf D so sein wird, dass A, D, B und D' ein Parallelogramm bilden. Das Tetraeder O’ABD' wird auch ein Haupt-Tetraeder sein, aber es wird unter der Ebene OAO'B gelegen sein. Es ist leicht Zusehen, dass OABD und O'ABD' zwei inverse*) Polyeder sind, deren Sym metriepol in co, dem Mittelpunkt des Parallelogramms OAO'B liegt, woraus man ersieht, dass »in jeder Sehaar zwei Haupt- Tetraeder existiren, die invers zu einander sind«. Satz XLI. — Alle Kantenwinkel des Haupt-Tetra eders sind spitz; einige von ihnen (vier höchstens) können ausnahmsweise Rechte sein. Seien 0 A, OB (Fig. 21) die beiden kleinsten Parameter der Schaar und OABD ihr Haupt-Tetraeder. Die ausgesprochene Behauptungist evidentfür die drei Winkel der Basis OAB. Man lege durch 0 eine Ebene normal zu OA; schon nach der Construction des Tetraeders können OD und OA nicht auf verschiedenen Seiten in Bezug auf diese Ebene gelegen sein, also A OD <]] 90 Grad. Man kann auf dieselbe Art beweisen, dass eine ähnliche Ungleichung für die Winkel DOB, DAO, DAB, DBO, DBA stattfindet. Jetzt schliesst man aus OB <[ OD auf ODB <[ OBT) O 90 Grad; aus OA <] OD schliesst man, dass ODA <( OAD <[ 90 Grad; endlich aus BD^> BO, DA^> OA folgert man BD- + DA 2 >£O s + OA*. Nun hat man, da der Winkel BOA ein spitzer oder ein rechter ist, BO* + OH 2 O oder = BA?; also auch BD- + DA* > 5T-; folglich kann der Winkel BDA 90 Grad nicht übersteigen. Die Zahl der rechten Winkel des Tetraeders kann ausser dem vier nicht übersteigen, da das Tetraeder nicht mehr als vier Seiten hat. Anmerkung. — Die Eigenschaften des Haupt-Tetraeders sind eingeschränkter als diejenigen, welche das Haupt-Dreieck *} Wegen der Definition dieser Ausdrücke sehe man die An merkung *) auf Seite 68.