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148 Dreizehnter Abschnitt. der Lehre vom Gleichgewicht fester Körper) nennt man ihn den Schwerpunkt des Dreiecks, weil sich erweisen läßt, daß eine dreieckige Scheibe, die in allen Punkten gleich dick und schwer ist, im Gleichgewicht schwebt, wenn der einzige Punkt unter stützt ist; nicht anders, als ob alle seine Schwere in diesem einzigen Punkte vereinigt wäre. §. 11. Lehrsatz. Wenn man einen Winkel eines Dreiecks halbirt, so schnei det die Halbirungslinie die Gegenseite des Winkels in zwei Stücke, welche den anliegenden Seiten proportional sind. Anleitung zum Beweise. Es sei (Fig. 128.) in dem Dreieck XLO der Winkel XVO durch die Linie Vv halbirt, welche die Seite XO in v schneidet; es soll die Richtigkeit der Pro portion XV: LO --- XI): 1)0 bewiesen werden. Man verlängere HZ über V hinaus, mache die Verlängerung LD der Seite LO gleich, und ziehe DO, so ist deutlich, daß der Winkel XLO -- 2VD0 (II, 10. vergl. mit III, 8.), woraus leicht gefolgert wird, daß XLV>--LDO; mithin sind die Linien Lv und DO parallel. Dies giebt nach (XII, 1.) die Proportion XV : DD --- XO : 1)0, in welcher nur statt DD das ihm gleiche VO gesetzt werden muß, um obige Pro portion zu erhalten. Dreizehnter Abschnitt. Proportionen im Kreise und Aehnlichkeit regulärer Vielecke. X. Proportionen im Kreise. 8.1. Lehrsatz. Wenn man in einem rechtwinkligen Dreieck aus der Spitze des rechten Winkels ein Loth auf die Hypotenuse sället, so wird dadurch das Dreieck in zwei gethcilt, welche unter sich, und dem ganzen ähnlich sind.