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166 XI. Jahrgang. „ELEKTROTECHNISCHE RUNDSCHAU.“ No. 19. 1893/94. Winkelwert gleich dem Nebenwinkel des von ihnen eingeschlossenen Winkels ist. 9. Beispiele. — Als erstes Beispiel wählen wir den Fall, wo die zwei alternierenden Vektoren oa, o'a' aufeinander senkrecht stehen. Nach dem soeben Dargelegten ist ihre Resultierende ein rotierender Vektor, falls o' a' = o a, weiter aber wenn cp' — cp = tu — a; nun stehen aber die gegebenen alternierenden Vektoren aufeinander senkrecht; also ist: TC TZ x = woraus cp' — cp = —. Nehmen wir z. B. cp = o, d. h. <£aod=o (Fig. 10), so muß 7t , -Ti cp' = ^ oder ^[a'oa' = -. U Lt Wenden wir dies auf Figur 6 an. Will man d und d' zu sammensetzen, so muß man Ol) ^ °d, sowie DD'|:o'd' machen; dann fällt aber, weil o d und o' d' entgegengesetzte Richtung haben sollen, D' in 0. Ferner machen wir OS und S'S" gleich und parallel os und o's'; wir erhalten dann die Resultierende 0 S'. Weil aber os und o d in die Richtung von oa fallen und oa lo'a' ist; weil ferner o' s' und o' d' senkrecht auf o' a' stehen, so fällt S S' in die Verlängerung von OS; es ist deshalb OS' der resultierende, nach links rotierende Vektor; er ist gleich s + s' oder gleich 2s oder gleich a, bezw. a'. Die zwei gegebenen alternierenden Vektoren ergeben also in diesem Fall einen einfachen rotierenden Vektor von derselben Frequenz und von einer Größe, welche ihrer Amplitude gleich ist. (Vergl. auch Fig. 10). Fig. 10. Als zweites Beispiel wählen wir den Fall, wo zwei gleiche, 3 alternierende Vektoren o a und o' a' einen Winkel a = — rc einschließen. 4 In diesem Fall ist cp' — cp — Tw Ist z. B. (Fig. 11) cp = <); a o d = o, so muß cp' = a' o' d' = V sein, Wenden wir wieder die Konstruktion nach Figur 6 auf unsern Fall an, so finden wir, daß D' mit 0 zusammenfällt. Die Resultierende Fig. 11. ist ein rotierender Vektor OS'; seine Größe ergiebt sich aus dem gleichschenklich rechtwinkeligen Dreieck OSS', sie ist gleich s V~2 oder gleich a: V2. 10. Von dem bisher betrachteten Fall von nur zwei alternierenden Seitenvektoren, gehen wir zu dem allgemeinen Fall einer beliebigen Zahl von Vektoren über: Jedes System alternierender Vektoren ist einem einfachen rotierenden Vektor äquivalent, wenn das Polygon der Komponenten d oder das der s ein geschlossenes ist. Ein wichtiger besonderer Fall ist der, wo die alternierenden Seitenvektoren gleich sind und gleiche Winkel miteinander bilden. Fs mögen in einer Ebene eine Anzahl (N) gleicher alternierender Vektoren liegen, von jeden jeder mit dem folgenden den Winkel a bildet; a soll weder gleich tt noch gleich einem Vielfachen von u sein; auch soll, wenn man die Reihenfolge der Vektoren in der Richtung von links nach rechts zählt, jeder alternierende Vektor gegen den vorhergehenden einen um x größeren Phasenwinkel haben, so daß die zugehörigen rotierenden s-Vektoren sämtlich den Winkel Null mit dem alternierenden Vektor bilden, dessen rotierende Vektoren mit s in eine Linie fallen. Alle s-Vektoren sind alsdann einander parallel. Das Polygon der s-Vektoren hat alle seine Seiten auf derselben Geraden; die Resultierende S aller s-Vektoren ist gleich ihrer Summe oder N s = S. Das Polygon der d-Vektoren aber ist ein reguläres Polygon, dessen äußere Winkel 2a sind; damit nun das Polygon ein ge schlossenes werde, ist es notwendig und hinreichend, daß N solcher Winkel ein Vielfaches von vier rechten Winkeln bilden, also 2 a N = 2 K tt oder a = , wo K eine nicht durch N teilbare ganze Zahl ist. Wenn diese Bedingung erfüllt ist, so haben die N rotierenden d-Vektoren die Resultierende Null, d. h. die N gegebenen alternierenden Vektoren haben als Resultierende den einfachen, nach links rotierenden Vektor S. Nennen wir a die gemeinschaftliche Amplitude der gegebenen alternierenden Vektoren, so erhält man für den Wert des rotierenden Vektors : Wenn aber die Voraussetzung gilt, jeder alternierende Vektor habe inBezug auf den vorhergehenden einen uma kleineren Phasenwinkel, so erhält man bei der Konstruktion des Polygons aus den d-Vektoren eine gerade Linie, wobei D = N. d, während das Polygon aus den s-Vektoren ein geschlossenes wird. Man erhält in diesem Fall einen einfachen, nach rechts rotierenden Vektor D. Wir haben den Fall ausgeschlossen, wo x — tc oder gleich einem Vielfachen von tt, und haben infolge davon gesagt, die ganze Zahl K solle nicht durch N teilbar sein. Wenn wir x — ic oder gleich einem Vielfachen von tc angenommen hätten, oder wenn wir K gleich N voraussetzen oder gleich einen Vielfachen von N, so würden die Winkel des Polygons von d gleich 2 7c oder gleich einem Vielfachen von 2tc und das Polygon von d würde sich ebenso wie das von s auf eine gerade Linie reduzieren. In diesem Fall würden wir zwei in entgegengesetztem Sinn rotierende Vektoren, jeden gleich -i- N a erhalten, also einen alternierenden Vektor von fester Richtung und der Amplitude N a. Das hätte man aber voraus wissen können, denn x = 7t oder gleich einem Vielfachen von 7t annehmen, heißt voraussetzen, daß die gegeben alternierenden Vektoren einander parallel sind. Die Fälle, welche bei den elektrischen Motoren besonders in Betracht kommen, sind die, bei welchen K —2 ist und noch mehr die, bei welchen die alternierenden Vektoren in gleichen Winkel abständen um eine Achse verteilt sind. Unter diesen Fällen verdient derjenige eine besondere Erwähnung, bei welchem N = 3 ist. Dann beträgt der Winkelabstand der gegebenen Vektoren und deren 2 Phasendifferenz -—tc oder 120°. Der rotierende Vektor, welcher sich O aus der Zusammensetzung der drei alternierenden Vektoren ergiebt, 3 hat den Wert — a, oder er ist anderthalb mal so groß wie die Amplitude jeder der Seitenvektoren. 11. Das Bisherige bezog sich auf die Zusammensetzung oder auf die Summe der von uns betrachteten Vektoren. Für die An wendung des nun zu Betrachtenden ist es notwendig einige Bemerkungen über die Produkte a b cos cp und a b sin cp der Amplituden zweier Vektoren mit dem Cosinus oder dem Sinus des von ihren Rich tungen eingeschlossenen Winkels cp zu machen. Zunächst wollen wir folgenden Satz anführen : Es seien gegeben zwei Gruppen von Vektoren und cs sei in einem gewissen Augenblick a die Größe irgend eines der Vektoren der ersten Gruppe; b diejenige eines der Vektoren der zweiten Gruppe, A der momentane Wert des resultierenden Vektors von allen Vektoren a; B derjenige der Resultierenden der Vektoren b; cp der Winkel zwischen einem Vektor a und einem Vektor b und vf der Winkel zwischen A und B, so ist: Sab cos cp = A B cos w 1) Sab sin cp = A B sin v. 2) Um die erste dieser allerdings wohl bekannten Gleichungen zu beweisen, genügt es zu bemerken, daß, wenn wir den Winkel zwischen A und einem der Vektoren b mit ff bezeichnen, nachstehende Gleichung gilt (die Summe der Projektionen aller a auf ein b ist so groß wie die Projektion von A auf dieses b): b S a cos cp = b A cos ff. Wenn man nun alle a auf alle b der Reihe nach und ebenso A auf alle b oder umgekehrt alle b auf A projeziert, so erhält man: Sab cos cp = S b A cos ff = A S b cos ff. Es ist aber die Summe der Projektionen aller b auf A so groß wie die Projektion von B auf A: S b cos ff = B cos weshalb Sab cos cp — A B cos v. Die andere Gleichung (2) wird in ähnlicher Weise abgeleitet. 12. Es ist aber auch wichtig den mittleren Wert der Produkte ab cos cp und ab sin cp zu kennen, wenn die Vektoren a, b von der hier betrachteten Beschaffenheit sind, d. h. entweder rotierende oder alternierende Vektoren. Dabei sind wieder verschiedene Fälle zu unterscheiden. Erster Fall. — Wenn die zwei Vektoren a und b in derselben Ebene und in demselben Sinn rotierende Vektoren sind, welche dieselbe Frequenz haben, so bleibt der von ihnen eingeschlossene Winkel konstant; er giebt den Winkelwert der Phasendifferenz der beiden Vektoren an. Da nun, nach der von uns aufgestellten Definition eines rotierenden Vektors, a und b konstant sind, so sind die Produkte a b cos cp und a b sin cp von der Zeit unabhängig. Zweiter Fall. — Sind wieder a und b in derselben Ebene und in demselben Sinn rotierende Vektoren, welche aber verschiedene