Volltext Seite (XML)
60 A. Bravais. [55] Satz XL. — Jedes Tetraeder, welches als Ecken den Anfangspunkt und die drei Punkte (m, n, p), [ni, n' p') und (m", n", p") hat, hat als Volumen das Product des Volumens des Elementar-Tetra- eders mit dem Factor mn'p"— mp ti' + pm'n"— nm'p" -f- np'rri' — prim!'. Dieser Satz ist eine Folge der Formel (42). Sei OTT'T" (Fig. 20) das gegebene Tetraeder, dann wird man haben (60) Volumen des Tetraeders OTT'T" = £12 {mn'p"). Diese Formel bleibt richtig, wenn m, re, p oder ni, n , p oder m", re", p" andere gemeinsame Theiler haben als die Einheit. Aufgabe XXVIII. — Das Haupt-Tetraeder einer Schaar zu finden. Wählen wir willkürlich einen Gitterpunkt 0 (Fig. 21), und suchen die beiden kleinsten Parameter OA, OB) ent werfen wir sie in einem solchen Sinne, dass der Winkel AOB spitz sei, oder höchstens gleich 90 Grad, was immer möglich sein wird. Vollenden wir das Dreieck AOB, welches eins der Hauptdreiecke der Netzebene A OB sein wird, und construiren über irgend einer seiner drei Seiten, z. B. über AB, das zweite Hauptdreieck BAO', welches, mit dem vorigen vereint, das Grundparallelogramm OAO'B vollendet. Ueber dem Umriss dieses Parallelogramms errichten wir senkrecht die Seiten eines nach beiden Bichtungen unbegrenzten Prismas. Die Netzebene, welche angrenzend an die Ebene OAO'B und über dieser gelegen ist, wird von dem Umriss des Prismas nach einem, der Basis OA O B gleichen, Parallelogramm geschnitten, wel ches in seinem Innern einen Gitterpunkt der Schaar enthalten muss, wenn es nicht zwei oder vier davon auf seinem Umriss enthält. Sei I) dieser Gitterpunkt; die Punktreihen OA, OB und OD werden conjugirt und die Pyramide OABD wird das Haupt-Tetraeder sein. Wenn der so erhaltene Gitterpunkt in d gelegen wäre, und sich orthogonal auf das Innere des zweiten Dreiecks BAO' projicirte, so würden die Punktreihen O A, OB und O'd coD.jugirt sein, und die Pyramide 0'ABd wäre das Haupt- Tetraeder. Anmerkung. — Sei OABD das Haupt-Tetraeder, wel ches aus der vorhergehenden Construction hervorgeht und noth-