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46 A. Bravais. So wird also die gesuchte Bedingung sein (39) gm!' + Ara" + kp" — dz 1. Wenn die Ebene [ghk) die Gitterpunkte [m, n, p) und (rn!, ra', p) enthält, wie das oben (Aufgabe XVII) angenommen ist, und wenn man in der Gleichung (39) g, h und k durch ihre aus der Gleichung (35) gezogenen Werthe ersetzt, so wird die gesuchte Bedingung (40) m"(np'—pn') -\-n"(pm'—mp') -\-p"[mn'—nm') — ±D. In dieser Formel ist D der grösste gemeinschaftliche Theiler der Binome np' —pri, pm' — mp' und mri — nm'. Satz XXXII. — Wenn drei von ein und demselben Gitterpunkt ausgehende Punktreihen im Raum con- jugirt sind, so sind sie paarweise auf ihrer Ver bindungsebene conjugirt. Dieser Satz folgt offenbar aus der Definition der con- jugirten Punktreihen (Seite 9). [42] Das über den Parametern dieser drei Punktreihen construirte Parallelepiped ist eins der Grund-Parallelepipede der Schaar. Die drei Seiten, welche sich am Anfangspunkte treffen, bilden drei eonjugirte Ebenen, die als angrenzende Ebenen die anderen drei Seiten haben. Satz XXXIII. —■ Wenn man das System der drei conjugirten Punktreihen OA, OB und OD (Fig. 17) durch das System der drei conjugirten Punktreihen OA', 05und OjDersetzt, so wirddas Volumen desParal- lelepipedes durch diesen Wechsel nicht verändert. Die Gerade AA' wird nämlich in einer zu der Ebene BOD parallelen Ebene gelegen sein, so werden also die Grund-Parallelepipede in den beiden Axen-Systemen dieselbe Basis OBB' D haben, und ihre Höhe wird dieselbe sein. Satz XXXIV. —Wenn man statt des Systems der drei conjugirten Punktreihen OA, OB und OD (Fig. 17) das System OA, OB' und OD' setzt, bei dem die Punktreihen OB' und OD' einander in der Ebene BOD conjugirt sind, so wird das Volumen des Grund-Parallelepipeds nach diesem Wechsel dasselbe bleiben. Denn die parallelogrammatischen Grundflächen dieser Parallelepipede in der Ebene OBD haben gleichen Inhalt Satz III); die Höhen sind dieselben; folglich sind die Volumen gleich.