80 Achter Abschnitt. Der Beweis beruht auf folgender Betrachtung: Wenn mau aus einer Spitze der Figur so viele Diagonalen als möglich zieht, so begreift man leicht, daß ihre 'Anzahl um drei kleiner ist als die Anzahl aller Seiten. Eben dies gilt von jeder Winkelspitze der Figur; da nun deren eben so viele sind wie Seiten; so muß man jene um drei verminderte Zahl mit der vollen Sei tenzahl multiplieiren. Aber so erhält man, wie leicht einzu sehen ist, jede Diagonale doppelt, daher muß das erhaltene Produkt noch mit zwei dividirt werden. Was hier in allgemeinen Ausdrücken gesagt ist, muß aus eine bestimmte sechs- oder siebenseitige Figur angewendet, und an schaulich gemacht werden. Auch ist nach dieser Regel die Anzahl der möglichen Diagonalen, vom Dreieck an bis zum Zwölfeck, zu berechnen. 8-6. Lehrsa tz. Die Summe aller inneren Winkel eines Vielecks ist einer bestimmten Anzahl von rechten Winkeln gleich, die gefunden wird, wenn man von der Zahl der Seiten zwei subtrahirt, und den Rest verdoppelt. Der Beweis ergiebt sich sehr leicht aus 8. 4. in Vergleickung mit II. 11. Wie groß ist nach dieser Regel die Summe der inneren Winkel, vom Dreieck an bis zum Zwölfeck? §. 7. A ii m erku n g. Die übrigen Sätze dieses Abschnittes betreffen die Zeich nung vielseitiger Figuren aus gegebenen Linien und Winkeln. Vorläufig bemerken wir bei diesen Aufgaben dreierlei: 1) wir werden in jedem Falle annehmen, daß die zur Zeichnung nöthi- gen Bestimmungsstücke dadurch gegeben sind, daß eine schon ge zeichnete Figur vorliegt, welcher eine andere eongruent gezeichnet werden soll. Es muß also zuerst eine mehrseitige Figur ganz beliebig gezeichnet werden, aus welcher dann die nöthigen Stücke genommen werden müssen. 2) der Ackfänger hat bei jeder die ser Aufgaben seine Aufmerksamkeit besonders darauf zu richten, wie v'clc und welche Stücke gegeben sein müssen, um eine congruente Figur zu zeichnen. Denn aus der Zeichnung der Dreiecke und Parallelogramme ist schon bekannt, daß nie alle Bestandtheile einer Figur zur Zeichnung gegeben zu sein brau-