8. 2. Zusatz. Wenn man aus einem Punkte innerhalb der Fläche eines Vielecks Linien nach allen Winkelspitzen zieht, so theilt man die Figur in so viel Dreiecke als sie Seiten hat. Dieses ist auf eine Figur anzuwenden. 8. 3. Erklärung. Was ist eine Diagonale bei einer mehr als vierseitigen Figur? Welche Diagonalen liegen in, und welche außer einer vielseitigen Figur? 8. 4. Lehrsatz. Die größeste Anzahl solcher Diagonalen, die sich nicht schnei den, ist um drei kleiner als die Anzahl der Seiten; und die An zahl der Dreiecke, in welche die Figur dadurch getheilt wird, ist um zwei kleiner als die Anzahl der Seiten. Der Beweis läßt sich auf mehrere Arten fuhren. Am einfachsten wenn man überlegt, wie viele Diagonalen sich aus einer einzi gen Winkelspitze ziehen lassen, und wieviel Dreiecke dadurch entstehen. Regelrechter aber ist folgender Gang. Man nehme ein beliebiges Vieleck z. B. ein Siebeneck an; schneide von diesem durch eine Diagonale ein Dreieck ab, so bleibt ein Sechseck übrig. Schnei det man von diesem wieder ein Dreieck ab, so bleibt ein Fünf eck. Dieses setze man fort, bis die Figur in lauter Dreiecke zerlegt ist, und überlege nun, wieviel Diagonalen man hat ziehen müssen, und wieviel Dreiecke dadurch entstanden sind. Man kann die vorige Schlußart auch umkchren. Man zeichne ein Dreieck; an eine Seite desselben lege man ein zweites, so erhält man ei» Viereck, und in diesem eine Diagonale. Man setze an irgend eine Seite des Vierecks ein drittes Dreieck, so erhält man ein Fünfeck mit zwei Diagonalen w. Aus eine dieser Arten ist der Beweis auszusührcn. 8-5. Lehrsa tz. Man erhält die Anzahl aller möglichen Diagonalen, die sich in einem Vieleck ziehen lassen, wenn man die Anzahl aller Seiten weniger drei, mit der vollen Anzahl aller Seiten multi- plicirt, und das Product niit Zwei divibirl.