Von berührenden Linien oder Tangenten 6!» Anleitung zum Beweise. In Fig. 81. sind aus den Punkten ^ und 8 der Linie ^8 durch den zwischen ihnen liegenden 6 zwei Kreise beschrieben; es ist also zu beweisen, re. Der Beweis läßt sich sichren, indem man zeigt, daß jeder Punkt der einen Kreislinie, mit Ausnahme des einzigen Punktes 6, außerhalb der andern Kreislinie liege. Zieht man z. B. aus dem Punkte I), der beliebig in der aus ^ beschriebenen Kreis- linisAnngenommen ist, die Linien V-L, V8; so läßt sich aus II, ^7 cl. leicht beweisen, daß LI) größer als 80 sei, woraus folgt, daß v außer der aus 8 beschriebenen Kreislinie liege (II, 3. ä.). Dasselbe gilt aber von jedem anderen Punkte, den man hätte annehmcn können; folglich liegt eine Kreislinie ganz außer der andern und beide haben nichts als den Punkt 0 gemein. Das zweite b) folgt unmittelbar aus §. 1. und 2. §.10. Lehrsatz. Wenn man aus zwei Punkten einer Linie durch einen dritten, der in der Verlängerung derselben liegt, zwei Kreise beschreibt, so haben diese a) nichts gemein als diesen Punkt, der kleinere aber liegt ganz innerhalb des größeren, d. h. sie berühren sich von innen; 8) auch haben diese beiden Kreise in dem Berührungspunkte eine gemeinschaftliche Tangente. Anleitung zum Beweise. In Fig. 82. sind aus und 8 durch den in der Werlängerung von -18 liegenden Punkt 6 zwei Kreise beschrieben. Es ist also zu beweisen -c. Es kommt darauf an, zu zeigen, daß mit Ausnahme des Punktes 6 jeder andere Punkt der kleineren Kreislinie innerhalb der größeren liege. Man nehme also I) in derselben beliebig, und ziehe V^L, 118, so'ist V^I kürzer, als ^8 P 8V, aber V8 — 86; folglich w. Der Beweis von k) ist wie im vorigen Satze. 8-11. Zusatz. Wenn man paher auf einer geraden Linie mehrere belie- .bige Punkte annimmt, und durch einen der beiden äußersten Punkte aus jedem der übrigen einen Kreis beschreibt; so be rühren sich alle diese Kreise von innen. Was dies heiße, ist ans dem vorigen §. vollständig zu beant worten, und durch eine Figur zu erläutern.