68 Siebenter Abschnitt. sich die Congruenz der Dreiecke -VOI) und ^.OL beweisen, woraus alle einzelnen Punkte des Satzes folgen. §. 8. Lehrsatz. Wenn man durch den Endpunkt einer Sehne eine Tan gente zieht, so daß beide Linien zwei Winkel bilden, von denen jeder einen Abschnitt des Kreises zwischen seinen Schenkeln ent hält; so ist jeder dieser Winkel so groß, wie der Peripherie winkel desjenigen Abschnittes, der nicht zwischen seinen Schen keln liegt. Anleitung zum Beweise. In Fig. 80. ist durch den End punkt tL der Sehne ^L die Tangente 01) gezogen. Es ist also zu beweisen: a) daß der Winkel L-Vl) re. d) daß der Winkel LtLO re. Um u) zu beweisen, ziehe man aus -L durch den Mittelpunkt L den Durchmesser ^.1?, und die Linie OL, so wird man leicht aus früheren Sätzen bestimmen: 1) wie groß der Winkel ^LO, 2) wie groß die Summe der Winkel L^O st LI'LL sei. Diese Summe muß man mit dem Winkel vergleichen, dessen Größe auch bekannt ist. Aus dieser Vergleichung wird sich leicht ergeben, daß der Winkel L^O dem Winkel MtL gleich sei. Da nun jeder andere Peripheriewinkel in dem Abschnitt -VIIL eben so groß ist wie -VOR; so ist der Winkel LH) jedem Winkel des Abschnittes -VIIL gleich. Um b) zu beweisen, nehme man in dem Bogen ^OL den Punkt O beliebig, und ziehe 6H und LO; so ist ^OLO ein Sehnen viereck, in welchem man nach einem früheren Satze die Summe der Winkel bei 0 und O kennt. Vergleicht man diese mit der Summe der Nebenwinkel bei e), so ergiebt sich, daß ILLO -- LO^. Dieser ganze Beweis ist vollständig auszusühren; besonders sind die hier absichtlich ausgelassenen Citate zu ergänzen. Von Kreisen, die sich berühren. 8-9. Lehrsatz. Wenn man aus zwei Punkten einer Linie durch einen be liebigen zwischen ihnen, jedoch auf derselben Linie liegenden Punkt zwei Kreise beschreibt, so haben diese n) nichts gemein, als diesen einzigen Punkt, und einer liegt ganz außer dem an dern, d. h. sie berühren sich von außen; k) auch haben sie in diesem Punkt eine einzige gemeinschaftliche Tangente.