8. 1. Lehrsatz. Die Bogen zwischen zwei parallelen Sehnen find gleich; und umgekehrt: wenn man zwei Sehnen von den Endpunkten eines Bogens nach den Endpunkten eines gleichen Bogens so zieht, daß sie sich nicht innerhalb des Kreises schneiden, so sind diese parallel. Der Beweis ergiebt sich unmittelbar aus Betrachtung von Fig. 72., und beruht auf I, 23. und §. 19. dieses Abschnittes. Die Um kehrung auf 19. des> Abschn. und I, 22. 8. 2. Lehrsatz. Wenn sich zwei Sehnen innerhalb des Kreises schneiden, so daß zwei Paar Scheitelwinkel entstehen; so gehören zu jedem Paare von Scheitelwinkeln zwei Bogen und jeder dieser Scheitel winkel ist so groß wie die Summe der beiden Peripheriewinkel, die aus diesen Bogen stehen. Anleitung zum Beweise. Wenn in Fig. 73. sich die Sehnen und 6V in 12 schneiden, so ist zu beweisen, daß der Winkel ^121) so groß sei wie die Summe der beiden Peri pheriewinkel auf den Bogen AD und 6L. Um den Beweis zu führen, ziehe man die Sehne zu dem Bogen eines Neben winkels; dann beruht der Beweis auf II, 10. 8-3. Lehrsatz. Wenn zwei Sehnen verlängert sich außerhalb des Kreises schneiden, so ist der Winkel, den sie einschließen, so groß wie der Unterschied der beiden Peripheriewinkel, die auf den zwischen seinen Schenkeln liegenden Bogen stehen können. Anleitung zum Beweise. Wenn in Fig. 74. die Sehnen und D6 verlängert sich in 12 schneiden; so ist zu be weisen, daß der Winkel ^DD so groß ist wie der Unterschied der Peripheriewinkel auf den Bogen ^D und DO. Man ziehe von einem Endpunkte der einen Sehne nach dem entgegenge setzten der andern eine Linie DD, dann ergiebt sich der Beweis wieder aus II, 10.