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14 Erster Abschnitt. Lagen, welche eine Linie derselben Richtung in der Ebene an nehmen kann. Stellt man sich vor, daß die Linie längs der Linie OO so fortgeschoben wird, daß sie immer dieselbe Richtung behält, so kommt sie in die Lage Ov und in jede andere Lage, welche in der Ebene, in welcher die geraden Linien O4I und sich anfänglich befinden, für eine Linie, die mit gleiche Rich tung hat, nur irgend denkbar ist. 4) Nicht parallele Linien müssen sich schneiden. Wenn die Linien iLL und DI? (Fig. 15) ungleiche Richtung haben, so läßt sich von ^ aus eine Linie ^6 parallel mit Ol? legen und an so fortschieben, daß sie mit ^6 immer parallel bleibt (d. h. gleiche Gegenwinkel bildet). Diese Linie muß daher auch einmal in die Lage kommen, welche OO hat. (nach Nr. 3.) Gesetzt dies sei der Fall, wenn sie parallel mit sich selbst aus der Lage ^.0 in die Lage OO gelangt ist, so schneidet sich die Linie verlängert mit der verlängerten Linie OO im Punkte 0-. So in allen ähnlichen Fällen. 5) Wenn zwei Linien von einer dritten so geschnitten werden, daß entweder a) zwei Gegenwinkel, oder ll) zwei Wech selwinkel ungleich sind, oder o) zwei innere Winkel auf derselben Seite der schneidenden Linie mehr oder weniger als zwei rechte betragen, so treffen die Linien auf der Seite zusammen, wo entweder u) der kleinere innere Gegenwinkel, oder b) der kleinere Wechsclwinkel ist, oder e) die inneren Winkel zusammen weniger betragen, als zwei rechte. Aus der Ungleichheit der Gegenwinkel u. s. w. läßt sich aus ähn liche Art wie in 8- 22 zeigen, daß die durchschnittenen Linien ungleiche Richtung haben, also nach Nr. 4) sich schneiden müssen. Nach welcher Seite hin sic zusammentrcffen müssen, ergiebt sich leicht, wenn man durch den Durchschnittspunkt einer dieser beiden Linien mit der dritten eine Parallele zu der an dern zieht, welche diese nach Nr. 2) nie trifft und also auch auf einer Seite das Zusammentreffen der zuerst gegebenen beiden Linien unmöglich macht. 6) Linien in einer Ebene, welche sich verlängert nie schnei den, sind parallel. Denn wären sie nicht parallel, so müßten sie sich schneiden (nach Nr. 4). Das ist aber wider die Voraussetzung. Anmerk. Nr. 6. ist die Euklideischc und allgemein cingeführte