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8. 21. Erklärung. Zwei gerade Linien in einer Ebene, welche, ohne auseinander zu fallen, gleiche Richtung haben, heißen parallele oder gleichlaufende Linien. An die Erläuterung durch eine Zeichnung knüpfe man (nach §. 9) die Beantwortung der Frage: Wenn man in einer Ebene mehrere Linien nach ei item einzigen Punkte hin zieht, haben diese Linien gleiche oder ungleiche Richtung? Auch ist anzugeben, wie man die Parallelität zweier Linien bezeichnet? 8. 22. Lehrsatz. Wenn zwei Linien von einer dritten so geschnitten werden, daß entweder a) zwei Gegenwinkel gleich sind, oder daß 1>) zwei Wechselwinkel gleich sind, oder daß cr) zwei innere Winkel auf derselben Seite der schneidenden Linie zwei rechte betragen, so sind die Linien parallel. Beweis von «.). Angenommen, daß in Fig. 13 die Linien -XL und 01) von der dritten 00 unter gleichen Gegenwinkeln OOL und 001) geschnitten werden, so ist zu beweisen, daß ^L und 0O parallel sind, d. h. nach §. 21, daß sie gleiche Richtung haben. Da die Gegenwinkel OOL uud OOD gleich sind, so weicht die Richtung der Linie OL, von der Richtung der Linie 00 eben so stark und nach eben der Seite ab, wie die Richtung der Linie Ol) von der Richtung der Linie 00; da nun die Thcile 00 und 00 der schneidenden Linie Oll nach §. 8 n eine und dieselbe Richtung haben, OL und OD aber von dieser gleich stark und auf völlig gleiche Art abweichen: so müssen sie (oder die ganzen Linien ^L und Ov) nothwendig selbst eine gleiche Richtung haben, also parallel sein. Es ist nun noch übrig, den Beweis von a) und o) auszuführen, welches nicht schwer ist, denn nach §. 18 läßt sich- beweisen, daß, ,wenn zwei Wechselwinkel gleich sind, auch zwei Gegen winkel gleich sein müssen; eben so nach 'H. 14, daß, wenn zwei innere Winkel auf einer Seite der schneidenden Linie zwei rechte betragen, gleichfalls zwei Gegenwinkel gleich sein müssen. Der Beweis läßt sich also in den beiden letzten Fällen auf den ersten zurücksühren. Hierbei sind folgende Fragen zu beantworten: 1) Enthält der §. nur eilten oder drei Lehrsätze und wie lautet im letzteren Falle jeder für sich?