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Anmerkung. Da jedes Dreieck in ein gleichschenkliges geome trisch verwandelt werden kann, so zeigt diese Aufgabe, wie man jedes Dreieck geometrisch in ein gleichseitiges verwandeln könne. 8. 14. Aufgabe. Einen Kreis von gegebenem Halbmesser so zu zeichnen, daß er beide Schenkel eines gegebenen Winkels berührt. Analysis. Angenommen, die gesuchte Lage des Kreises um 1) Fig. 178. sei schon gefunden, und er berühre die Schenkel des gegebenen Winkels -Will in den Punkten X und 0. Zieht man nun von seinem Mittelpunkte 1) Linien nach drn Berüh rungspunkten X und 6, und nach L, so stehen erstere win kelrecht auf den Schenkeln des Winkels (VIII, 3.), letztere halbirt den gegebenen Winkel bei L (VII, 7.). Nimmt man nun auf dem Schenkel XL irgend einen Punkt I' an, und errichtet in demselben eine Winkelrcchte LO, welche die Linie LI) in O schneidet, so ist 0- der Mittelpunkt eines Kreises, dessen Halbmesser --- LO, und der beide Schenkel des Winkels L berührt. Da nun in dem rechtwinkligen Dreieck LXO, LO parallel mit XO gezogen ist, "so fällt die Proportion in die Augen OL : LL---XI) : LX (XII, 3.), in welcher die drei ersten Glieder gegeben sind, das letzte also gefunden werden kann. Ist aber LX gefunden, so ist der Punkt X gegeben, und zugleich die Linie XO der Lage nach als Winkelrechte ans LX, mithin da die Linie OL der Lage nach gegeben ist, auch der Punkt I), oder der Mittelpunkt des gesuchten Kreises. Da nun auch die Größe des Halbmessers XO gegeben ist, so kann der Kreis gezeichnet werden. Synthesis und Beweis ergeben sich aus der Analysis. 8. 15. Aufgabe. Es ist ein Kreis Fig. 179. und außer demselben eine be grenzte gerade Linie OL gegeben, man soll von den Endpunk ten derselben v und L durch einen zu suchenden Punkt O in der Peripherie zwei gerade Linien ziehen können, so daß, wenn man sie bis zur andern Seite der Peripherie verlängert, und ihre Endpunkte X und 6 verbindet, X6 parallel OL sei. Analysis. Gesetzt L sei der in dem Kreise XOL gesuchte Punkt, und die Sehne XO parallel mit der gegebenen Linie OL. Zieht man nun die Tangente XL, bis sie die Verlängerung von LO in L schneidet, so ist 1) der Winkel XOV - OOL (I, 23. ll.), und 2) Winkel LXL -- XOL (VII, 8.). Da