DK -- V2 80 und VV -- Vs ^6 ist. Beides wird aber der Fall sein, wenn rpv --- V2 ^L8, und --- Vs -^0 ist. Aus dieser Betrachtung erhellt, wie die Punkte D und 8 ge funden, und das. Parallelogramm V888 — Vs V80 vollen det werden kann. Anmerkung. Um deutlich einzusehen, daß die Auflösung nur auf diesem Wege, nämlich durch Halbirung einer Seite oder der Höhe des Dreieckes möglich ist, stelle man die Analysis noch auf folgendem Wege an: Es sei V888 Fig. 175. das gesuchte Parallelogramm, — Vs -^80. Man ziehe V6 und Dkl winkelrecht auf 80, so läßt sich die Fläche des Dreiecks HZO ausdrückm durch V2 VO X 80, und die Fläche des Parallelogramms durch VV><88; es ver hält sich also V8: rL80 --- VV X 88 : X L0 ^ 1.2^ oder VVX 88 : VOX 80 ^ 1 : 4. Da aber VO und VV parallel sind, so ist iLO: VV --- ^8 : 8V. Setzt man beide Proportionen zusammen, so erhält man VV X 88 X : voX 80 XVV -- V8 : 4 8V, und, wenn man die Glieder des ersten Verhältnisses nacheinan der durch die gleichen Factoren VH und ^6l dividirt, 88 : 80 -- 1L8:4 8V; da aber 88 ^ VL und V8 parallel mit 86 ist, so ist 88:80 — VV: V8. Folglich ist VV : V8 -- V8 : 4 8V, mithin V8^ 4 VV XV8 oder V8'^ —?1V X 8V. Dies ist aber nur möglich, wenn VV V8 ist, weil das Recht eck unter zwei ungleichen Abschnitten einer Linie immer kleiner als das Quadrat der Hälfte, oder kleiner als 'V von dem Quadrate der ganzen Linie ist (VI, Anh. 6.). Also ist V8 --- Vs 8V, folglich ist der Punkt v bestimmt, und das Parallelogramm V8 kann nunmehr vollendet werden. Anmerkung. Man steht leicht 'rin, daß unzählige Parallelo gramme zwischen den Parallelen VV und 80 über der Grund link V8 gezeichnet werden können, welche sämmtlich die Be dingungen der Aufgabe erfüllen. Eine leichte Folgerung aus dieser Aufgabe ist der folgende Lehrsatz. 8.12. Lehrsatz. Wenn man die Seiten eines Vierecks halbirt, nnd die Thcilungspunkte je zweier anstoßender Seiten durch gerade Li-