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236 Anleitung der Dreiecke A66 und 666 einleuchtend, denn 66 -- 66, Winkel A66 - 666 und A66 -- L66 -- 666; folglich ist A6 — 66. Da man nun aus jedem Punkte A auf die unbegrenzte 61) eine Winkelrechte fällen, und diese, so weit man will, verlängern kann, so ist in der Figur A6 — 66, mithin der Punkt 6 gegeben. Da nun auch L ein gegebener Punkt ist, so ist auch die Linie L6 und ihr Durchschnittspunkt mit 06 d. h. der Punkt 6, gegeben. §. 10. Aufgabe. Der Durchschnittspunkt zweier convergirenden Linien kann aus irgend einem Grunde nicht gefunden werden; man soll beide durch eine gerade Linie dnrchschneiden, so daß die inner» Winkel auf einer Seite der Dnrchschnittslinie einander gleich werden. Analysis. Man nehme an, die convergirenden Linien LA und 60 Fig. 174. würden durch 66, wie es verlangt wird, ge schnitten, so daß der Winkel A66 — 666. Errichtet man nun in 6 auf AL die winkelrechte 6kl, und fället man von 6 aus auf 06 die winkelrcchte 66, so ist 666-1-666 — 666 ch A66-- R; da also 666--A66, so ist auch 666 - 666. Die Linie 66 halbirt also den Winkel 666. Da nun die Winkelrcchten 66, 66 in jedem Punkte 6 gezogen werde» können, und jeder Winkel 666 geometrisch halbirt werden kann, so ist die Lage von 66 gegeben. Synthesis und Beweis ergeben sich leicht aus der Analysis. §. 11. Aufgabe. In ein gegebenes Dreieck soll ein Parallelogramm einge schrieben werden, welches die Hälfte des Dreiecks sei. Analysis. Man nehme au, die Aufgabe sei schon gelöst, und das Parallelogramm 666L Fig. 175. sei die Hälfte des gan zen Dreiecks ALO, auch sei A6 die Höhe des Dreiecks, und 66 die Höhe des Parallelogramms. Weil nun 66 4 LO, so ist A6 : AL — A6 : AO. Würde nun blos ein Parallelo gramm verlangt: so reichte es hin, durch einen beliebigen Punkt 6 die geraden Linien 66 4 LO und hierauf 66 ch AL zu ziehen. Da aber 666L --- ^ ALO sein soll, so überlege man, daß ein Parallelogramm gewiß die Hälfte eines Dreiecks sein wird, wenn sowohl die Höhe als die Grundlinie des Pa rallelogramms die Hälfte vön der Höhe und der Grundlinie des Dreiecks ist. Der Aufgabe wird also genügt werden, wenn