8-5. Aufgabe. Es ist eine Seite eines Dreiecks und ihr Gegenwinkel, und außerdem der Unterschied der beiden anderen Seiten gege ben; man soll das Dreieck zeichnen. Analysis. Es sei ^LO Fig. 169. das gesuchte Dreieck; ge geben die Seite LO und der Winkel L^6; ist nun ^0 die kleinere Seite, so schneide man von der größeren ein Stück ab, — ^.0, dann ist Lv der gegebene Unterschied der Seiten ^6 und ^L. Da nun HDO ein gleichschenkliges Dreieck, und in diesem der Winkel an der Spitze gegeben ist, so ist dadurch die Große des Winkels an der Grundlinie bestimmt. In dem Dreieck UI)6 sind also die Seiten LO und UV, und der Winkel UDO als Nebenwinkel von -VI) 6 gegeben, und UDO als stumpser Winkel ist auch der Gegenwinkel der größeren Seite. Das Dreieck UDO läßt sich also geometrisch zeichnen (III, 18.); dadurch erhält man aber den Winkel DUO. Folglich sind in dem Dreieck -VLO die Seite LO und zwei Winkel von bestimmter Lage, nämlich ^LO und L^.0 gegeben; aus welchen Stücken das Dreieck gezeichnet werden kann. Die Synthesis und der Beweis sind sehr leicht aus dieser Ana lysis abzuleiten. Auch versuche man die Analysis der Aufgabe an Fig. 168., in dem man annimmt, daß Xu kleiner als ^0. Zur Hebung kann man eine besondre Anwendung auf ein rechtwinkliges Dreieck machen, zu welchem die Hypotenuse und der Unterschied der Katheten gegeben sind. Der Winkel ^VLO erhält dann eine bestimmte unveränderliche Größe. 8-6. Aufgab e. ES sind zwei Winkel eines Dreiecks und die Summe ihrer Gegenseiten gegeben; man soll das Dreieck zeichnen. Analysis. Es sei Fig. 167. ^VLO das gesuchte Dreieck, worin die Winkel bei L und 6, und die Summe der Seiten, die den Winkel -X einschließen, gegeben ist. Verlängert man L^ bis v, so daß — ^.0, und zieht 1)6, so ist LI) die gegebene Summe der Seiten kOV und ^0, und da die Winkel L und 0 gegeben sind, so ist auch L^O gegeben, mithin auch LOO 1/2 L-VO; da -VOI) gleichschenklig ist. In dem Dreieck L6V ist also eine Seite LI) mit den beiden anliegenden Win- * kein bei I) und L gegeben. Das Dreieck kann also gezeichnet werden. Dadurch wird aber auch LO gegeben, und weil der