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232 Anleitung dann, wenn in dem nach n) entstandenen Dreieck LVO der Winkel LVO spitzig ist oderLO^ < Lv^ > VO^. 2. Daß, wenn der gegebene Winkel ^LO spitzig ist, nur in den Fällen zwei Dreiecke möglich sind, wenn in dem nach b) aus den Bestimmungsstückcn gezeichneten Dreieck LOV Fig. 169. der Winkel LVO stumpf ist, oder LO- > Lv^ ^ VO^. (Vergl. zu 1) und 2) noch III, 11., V. Anh. 15., 14.) 8. 4. Aufgabe. Es ist eine Seite eines Dreiecks, der Gegenwinkel der selben, und die Summe der ihn einschließenden Seiten gegeben; man soll das Dreieck zeichnen. Analysis. Es sei ^LO Fig. 170,»das gesuchte Dreieck, LO die gegebene Seite, L^O der gegebene Winkel. Verlängert man nun L^I über ^ hinaus bis v, so daß ^v — ^0, so ist LI) die gegebene Summe der Seiten, und wenn man VO zieht, so sind in dem Dreieck LOV die Seiten LI) und LO und der Winkel LVO, welcher der kleineren LO gegenüber liegt, gegeben. Aus diesen Bestimmungsstücken lassen sich (III, 20.) in vielen Fällen zwei Dreiecke zeichnen. Zeichnet inan eins derselben, z. B. VLO, so wird V^O ein gleichschenkliges Dreieck, und es ist nun die Lage der Linie ^6, welche das Dreieck ^LO abschneidet, gegeben, weil der Winkel ^.Ov ----- ^L^.0 (II, 10. und III, 8.). Zeichnet man das andere, z. B. VVo und zieht es parallel mit 01, so wird nev ein gleichschenk liges Dreieck, und es ist die Lage von on eben so gegeben. Synthesis und Beweis find leicht durchzuführen. Anmerkung. Die Analysis zeigt, daß man in vielen Fällen auf zweierlei Weise ein solches Dreieck erhalten kann, wie in Fig. 170. das Dreieck L10 und das Dreieck Lue. Es läßt ssch aber beweisen, daß diese beiden Dreiecke eongrucnt sind, daß also durch die angegebenen Bestimmungsstücke ein Dreieck vollständig bestimmt ist. Es ist nämlich 10 — IO, ne ----- uv, LO — La nach der Con- struction; also Winkel IVO — 10V — nev, und LOo — LeO. Dies vorausgesetzt, erkennt man leicht 10L --- 2L—(10V Z- LOe) nach I, 15. nLo ---- 2L—(IVO -s- LeO) nach II, 11. Es ist also Winkel 10L nLe; aber auch Lue — L10 (I, 23. n.) und (wie gesagt) LO — Le, folglich Dreieck ILO congruent mit »Le (III, 7.).