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zur geometrischen Analysis. 231 man auf derselben von ^X aus ein Stück XI) — ^0 ab, und ziehe DO, so ist UD der gegebene Unterschied der Seiten L^. und -XO und iil dem Dreieck UDO sind die Seiten BO, LD und der cingeschlossenc Winkel OVO gegeben. Das Dreieck kann daher durch Zeichnung gesunden werden. In dem gleichschenkligen Dreieck -XDO ist demnach die Grund linie DO, und der Winkel an der Grundlinie ^DO als Neben winkel von UDO bekannt) das Dreieck kann daher durch Zeich nung gefunden werde». Wenn nun ^D bekannt ist, so ist auch ^XD -s- DU oder ^U bekannt, und das Dreieck XuO ist durch die Seiten ^XU, UO und den eingcschlossenen Winkel ^UO so bestimmt, daß es ge zeichnet werden kann. Synthesis und Beweis ergeben sich hieraus leicht. Anmerkung. Die Analysis zeigt, wie unter den angegebenen Bedingungen zwei Dreiecke gefunden werden können. Soll daher die Aufgabe völlig bestimmt sein, so muß bemerkt werden, ob der gegebene Winkel der größeren Seite, wie bei n), oder der kleineren, wie bei l>), gegenüber liegt. Aus der Analysis ergeben sich auch zugleich die Bestimmungen, unter denen, wenn die drei genannten Stücke beliebig gegeben sind, das Dreieck nur gezeichnet werden kann. Es ist schon an sich klar (II, 8. ä.), daß kein Dreieck möglich ist, worin der Unterschied zweier Seiten größer als die dritte ist, folglich darf DL nicht größer als UO gegeben sein. Aus der Betrachtung von Fig. 168. ergiebt sich nun, daß unter der cbengedachtcn allgemeinen Voraussetzung aus jeden drei solchen Stücken ein Dreieck ^XLO gefunden werden kann, wenn in dem durch die Bcstimmungsstücke gegebenen Dreieck, UDO spitzig ist; denn da LD <L0, so ist auch der Winkel UOD < UDO; und da nun ^XOD — ^XDO,'so fällt ^.0 auch so, daß es mit den Schenkel» des gegebenen Winkels ^UO ein Dreieck cinschlicßt. Sehen wir aber auf Fig. 169., so ergiebt sich leicht, daß die aus d) folgende Synthesis nur möglich ist, wenn in dem Dreiecke UDO, welches die Bestimmungsstücke ergeben, der Winkel UDO ein stumpfer Winkel ist. Denn wäre er ein rechter oder ein spitzer, so würde der Winkel ^XDO entweder ein rechter oder stumpfer sein. Da nun Winkel ^XOD — ^XDO, so würde in beiden Fällen der Schenkel IUX von der Linie O^X nach dieser Seite hin nicht geschnitten werden sönnen. Aus diesen Betrachtungen folgt: 1. Daß, wenn der gegebene Winkel ^XUO ein rechter oder größer ist, nur ein Dreieck möglich ist, und im letzteren Falle nur