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226 Sechzehnter Abschnitt (Anhang). Bogens Xdn (§. 4.), d. h. die doppelte Tangente des Bogens XL. Das Loth ak halbirt aber die Linie XL in k(XII, 1), also ist XL die vierfache Tangente des Bogens -Xd. Da nun die Tangente von Xb großer ist, als der Bogen Xd, so ist die vierfache Tangente desselben, also XL, größer als der vier fache Vogen Xd, d. h. größer als der Bogen XnB. 4. Betrachtet man ferner das Dreieck XLL, so läßt stch, wenn inan in d ein Loth auf XL errichtet, auf ähnliche Art bewei sen, daß XL --- vier Sehnen Xd, also ist XL kleiner als XnL. Ferner, daß XL — acht Tangenten des Vogens Xo, also XL > 8Xe, d. h. größer als XnL. Eben so läßt sich weiter zeigen, daß in dem Dreieck XIII die Linie XL ----- acht Sehnen des Bogens Xe, also: XL < 8 Bogen Xe, d. h. kleiner als XnV. Desgleichen, daß die Linie XI ----- sechzehn Tangenten des halben Bogens Xe, also größer als sechszehn halbe Bogen Xe, d. h. größer als XaL u. s. f. 5. Wir wollen die Ergebnisse dieser Schlüsse zu leichterer Ueber- sicht nochmals zusammenstellcn. Was die Linien XL, XL, XL, XL re. betrifft, so war XL die Sehne des ganzen Bogens, XL die doppelte Sehne des halben Bogens, XL die vierfache Sehne vom vierten Theil des Bogens, XL die achtfache Sehne vom achten Theil des Bogens u. s. s. Da nun XL > XL, XL > XL, XL > XL u. s, f.,'so ist klar, daß sich diese Linien wach send der Größe des Bogens XnL nähern. Was ferner die Linien X6, XL, XL, XI -c. betrifft, so war X6 die doppelte Tangente des halben Bogens, XL die vierfache Tangente vom vierten Theil des Bogens, XL die achtfache Tangente vom achten Theil des Bogens, u. s. f. Da nun XL<XO, XL < XL, XI < XL u. s. f., so ist klar, daß sich die Linien abnehmend der Größe des Bogens XnL nähern. Aber nach §. 2. ist XL — XL < ^ sX6 — XLs, ferner XL — XL < 1/2 — Xvs, weiter XI — XL < '/? sXL-XLs, u. s. s. u. s. s. Wird daher die beschriebene Arbeit hinlänglich weit sortge>etzt, so muß man nothwendig einmal zu zwei Linien (wie XI und XL) gelangen, deren Unterschied von einander kleiner ist, als irgend eine noch so kleine Größe. Da aber allezeit eine dieser Linien größer, und die andere kleiner ist als der Bogen, so muß ihr Unterschied vom Bogen um so mehr kleiner gemacht werden können, als jede noch so kleine Größe, die sich angebcn läßt, was zu erweisen war.