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222 Sechzehnter Abschnitt (Anhang). Es sind zwei gleichartige Größen, z. B. die beiden Linien AL und 01) Fig. 162. gegeben, die eine AL beliebig groß, die andere 01) beliebig klein. Nimmt man von der größeren AB die Hälfte LL ab, vom Reste Lei wieder die Hälfte LI?, vom nunmehrigen Reste LA wieder die Hälfte LN, u. s. f., so bleibt nach einer gewissen Anzahl von Wiederholungen dieser Arbeit ein Rest (NA), der kleiner ist als Ov. Beweis. Man mache von Ov, ein Vielfaches NN welches größer ist als AL (in unserer Fignr erfüllt schon das Vierfache diese Bedingung). Nimmt man nun von AL die Hälfte LL, von UN aber einen Theil NI, also weniger als die Hälfte ab, so muß der Rest LA. kleiner sein als der Rest IN. Nimmt man ferner von LA die Hälfte LL, von IN aber wieder einen Theil IL, also weniger als die Hälfte ab, so ist der Rest AL kleiner als der Rest LN, und so ferner. Es mögen nun der Theile aus IIN so viele sein, als man will, so wird man diese Schlüsse jederzeit so weit fortsetzen können, bis auf NN nur noch zwei Theile LL und LN übrig sind. Ist nun der auf AL hiezu gehörige Rest AL, so ist erwiesen, daß AL < LN. Nimmt man also endlich von jeder dieser beiden Linien die Hälfte ab, so bleiben AN und LN, und es ist AO < LN, also auch AN < 01), was zu erweisen war. Nimmt man also von irgend einer Größe die Hälfte ab, vom Rest wieder die Hälfte, und so immer fort, so kann man in jedem Falle zuletzt zu einem Rest gelangen, der kleiner ist als jede gegebene, noch so kleine gleichartige Größe. Noch vielmehr, aber hat dieses seine Richtigkeit, wenn man von der Größe mehr als die Hälfte, vom Reste wieder mehr als die Hälfte, u. s. f. abnimmt. 8.2. Lehrsatz. Wenn man in einem bei A rechtwinkligen Dreieck ALO Fig. 163. einen der spitzigen Winkel )^0L durch die Linie Ov halbirt, und in 1) die Linie VL winkelrecht auf Ov errichtet, so ist im Dreieck OVL der Unterschied der Hypotenuse OL und der Kathete Ov noch nicht halb so groß, als in dem Dreieck )sOL der Unterschied der Hypotenuse OL und der Kathete OA. Beweis. Aus 0 beschreibe man mit dem Halbmesser OA den Bogen AL, so ist LL (- LO —- LO -- LO — AO) der Unterschied der Hypotenuse OL und der Kathete OA im Dreieck ALO. Man beschreibe ferner aus 0 mit dem Halb-
